Chào mừng các em học sinh lớp 10 đến với đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 6 của toan11.edu.vn. Đề thi này được biên soạn dựa trên chương trình học Toán 10, bao gồm các kiến thức trọng tâm và các dạng bài tập thường gặp.
Mục tiêu của đề thi này là giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và đánh giá năng lực bản thân trước kỳ thi chính thức.
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Chọn câu trả lời đúng. A. Mệnh đề là một câu hỏi B. Mệnh đề là một câu cảm thán C. Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai D. Cả A, B, C đều đúng
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Chọn câu trả lời đúng.
A. Mệnh đề là một câu hỏi | B. Mệnh đề là một câu cảm thán |
C. Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai | D. Cả A, B, C đều đúng |
Câu 2: Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là:
A. \(\forall x \in \mathbb{Z},{x^3} = 10\) | B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\) |
C. \(\forall x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) | D. \(\exists x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) |
Câu 3: Chọn khẳng định sai:
A. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P đúng thì \(\overline P \) sai
B. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa khẳng định được P sai
C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P, kí hiệu là \(\overline P \)
D. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P sai thì \(\overline P \) đúng
Câu 4: Tập hợp nào dưới đây cho bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp:
A. \(A = \left[ {1;2;3;4;5} \right]\) | B. \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) |
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) | D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) |
Câu 5: Tập hợp C gồm các số tự nhiên lẻ. Viết tập hợp C bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
A. \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\) | B. \(C = \left\{ {1;3;5;7...} \right\}\) |
C. Cả A và B đều đúng. | D. Cả A và B đều sai |
Câu 6: Tập hợp A gồm các chữ cái trong từ “NHA TRANG” là:
A. \(A = \left\{ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) | B. \(A = \left\{ {H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) |
C. \(A = \left[ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right]\) | D. \(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\) |
Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
A. \(\left( { - 1;2} \right)\) | B. \(\left( {0; - 3} \right)\) |
C. \(\left( { - 2;3} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\) | B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\) |
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\) | D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\) |
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\left( {1;1} \right) \in S\) | B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\) |
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\) | D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\) |
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:
A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\) | B. \({x^2} + 2x - y > 0\) |
C. \(4y \le 11y\) | D. \(x + y - 5 > 0\) |
Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?
A. \(\left( {0;0} \right)\) | B. \(\left( {0;2} \right)\) |
C. \(\left( {2;0} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì:
A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \) | B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \sin \alpha \) |
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \) | D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \) |
Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:
A. \(\sin \alpha > 0\) | B. \(\cos \alpha > 0\) |
C. Cả A và B đều đúng | D. Cả A và B đều sai |
Câu 15: Với \(\alpha \ne {90^0}\), thì:
A. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) | B. \(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
C. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\) | D. \(\tan \alpha = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:
A. \(A = \frac{5}{2}\) | B. \(A = \frac{1}{2}\) |
C. \(A = \frac{3}{2}\) | D. \(A = 1\) |
Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:
A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) | B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\) |
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\) | D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\) |
Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 10cm | B. 20cm |
C. \(10\sqrt 2 cm\) | D. \(20\sqrt 2 cm\) |
Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\) | B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\) |
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\) | D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\) |
Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:
A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. 2020 là số chia hết cho 3
B. \(\pi > 3,15\)
C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều
D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân
Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:
A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”
B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”
C. “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”
D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”
Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16
C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16
D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:
Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.
A. \(A \subset B\) | B. \(A \cap B = C\) |
C. \(A \cup B = C\) | D. \(A\backslash B = C\) |
Câu 26: Chọn đáp án đúng:
A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\) |
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | D. Cả A, B, C đều đúng. |
Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:
Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:
Câu 29: Cho hình vẽ sau:
Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:
A. \(x - 2y - 1 \ge 0\) | B. \(x - 2y - 1 < 0\) |
C. \(x - 2y - 1 \le 0\) | D. \(x - 2y - 1 > 0\) |
Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:
A. \( - 6\) | B. 6 |
C. \( - 12\) | D. 12 |
Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\) | B. \(\sin A = - \sin \left( {B + C} \right)\) |
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\) | D. \(\sin A = - 2\sin \left( {B + C} \right)\) |
Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{180}^0},\alpha \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}\) là:
A. \(P = 2\) | B. \(P = 8\) |
C. \(P = \frac{1}{2}\) | D. \(P = \frac{1}{8}\) |
Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)
A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\) | B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\) |
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\) | D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\) |
Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 65cm | B. \(\frac{{65}}{8}cm\) |
C. \(\frac{{65}}{2}cm\) | D. \(\frac{{65}}{4}cm\) |
Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:
A. \(2\sqrt 3 cm\) | B. \(\sqrt 3 cm\) |
C. 3cm | D. 2cm |
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).
a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\) b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)
Bài 2. (1,0 điểm)
Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha = {63^0},\widehat {CBD} = \beta = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân). |  |
Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: C | Câu 2: B | Câu 3: B | Câu 4: B | Câu 5: A | Câu 6: D | Câu 7:D |
Câu 8: B | Câu 9: C | Câu 10: D | Câu 11: B | Câu 12: A | Câu 13: A | Câu 14: C |
Câu 15: A | Câu 16: D | Câu 17: A | Câu 18: D | Câu 19: B | Câu 20: C | Câu 21: D |
Câu 22: A | Câu 23: B | Câu 24: A | Câu 25: C | Câu 26: D | Câu 27: A | Câu 28: B |
Câu 29: D | Câu 30: A | Câu 31: A | Câu 32: D | Câu 33: C | Câu 34: B | Câu 35: B |
Câu 1: Chọn câu trả lời đúng.
A. Mệnh đề là một câu hỏi | B. Mệnh đề là một câu cảm thán |
C. Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai | D. Cả A, B, C đều đúng |
Phương pháp
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai
Lời giải
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai
Đáp án C
Câu 2: Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là:
A. \(\forall x \in \mathbb{Z},{x^3} = 10\) | B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\) |
C. \(\forall x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) | D. \(\exists x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) |
Phương pháp
Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”, kí hiệu \(\exists \) đọc là tồn tại.
Lời giải
Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\)
Đáp án B
Câu 3: Chọn khẳng định sai:
A. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P đúng thì \(\overline P \) sai
B. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa khẳng định được P sai
C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P, kí hiệu là \(\overline P \)
D. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P sai thì \(\overline P \) đúng
Phương pháp
Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu \(\overline P \). Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng.
Lời giải
Khẳng định sai là: Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa chắc P sai
Đáp án B
Câu 4: Tập hợp nào dưới đây cho bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp:
A. \(A = \left[ {1;2;3;4;5} \right]\) | B. \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) |
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) | D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) |
Phương pháp
Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý:
+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.
+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.
+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.
+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ ràng thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Lời giải
Tập hợp được viết bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp là: \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)
Đáp án B
Câu 5: Tập hợp C gồm các số tự nhiên lẻ. Viết tập hợp C bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
A. \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\) | B. \(C = \left\{ {1;3;5;7...} \right\}\) |
C. Cả A và B đều đúng. | D. Cả A và B đều sai |
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
Lời giải
Tập hợp C viết bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử là: \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\)
Đáp án A
Câu 6: Tập hợp A gồm các chữ cái trong từ “NHA TRANG” là:
A. \(A = \left\{ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) | B. \(A = \left\{ {H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) |
C. \(A = \left[ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right]\) | D. \(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\) |
Phương pháp
Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý:
+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.
+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.
+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.
+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ ràng thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Lời giải
\(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\)
Đáp án D
Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
A. \(\left( { - 1;2} \right)\) | B. \(\left( {0; - 3} \right)\) |
C. \(\left( { - 2;3} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Phương pháp
Sử dụng kiến thức: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Lời giải
Trong các điểm trên, chỉ có điểm \(\left( {1;1} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ.
Vậy điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right)\) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình
Đáp án D
Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\) | B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\) |
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\) | D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\) |
Phương pháp
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
Lời giải
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)
Đáp án B
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\left( {1;1} \right) \in S\) | B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\) |
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\) | D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\) |
Phương pháp
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Lời giải
Với \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\\2.1 + 5.\frac{1}{2} = \frac{9}{2} < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\not \in S\)
Với \(x = 1;y = 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 1 = 2 > 0\\2.1 + 5.1 = 7 < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;1} \right)\not \in S\)
Với \(x = 1;y = \frac{{ - 1}}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0\\2.1 - 5.\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{2} < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)
Với \(x = - 1;y = - 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 1 > 0\left( {VL} \right)\\ - 2.1 - 5.1 = - 7 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( { - 1; - 1} \right)\not \in S\)
Đáp án C
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:
A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d: - x + y = 1\) và \(0 + 0 < 1\) nên điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) . Vậy miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
Đáp án D
Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\) | B. \({x^2} + 2x - y > 0\) |
C. \(4y \le 11y\) | D. \(x + y - 5 > 0\) |
Phương pháp
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng
\(ax + by + c > 0,ax + by + c \ge 0,ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0\)
Trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.
Lời giải
Bất phương trình \({x^2} + 2x - y > 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({x^2}\)
Đáp án B
Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?
A. \(\left( {0;0} \right)\) | B. \(\left( {0;2} \right)\) |
C. \(\left( {2;0} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Phương pháp
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các tọa độ là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Lời giải
Trong các điểm ở trên, chỉ có điểm \(\left( {0;0} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo. Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trong hình.
Đáp án A
Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì:
A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \) | B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \sin \alpha \) |
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \) | D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \) |
Phương pháp
Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)
Lời giải
Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)
Đáp án A
Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:
A. \(\sin \alpha > 0\) | B. \(\cos \alpha > 0\) |
C. Cả A và B đều đúng | D. Cả A và B đều sai |
Phương pháp
Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha > 0\)
Lời giải
Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha > 0\)
Đáp án C
Câu 15: Với \(\alpha \ne {90^0}\), thì:
A. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) | B. \(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
C. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\) | D. \(\tan \alpha = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
Phương pháp
Nếu \(\alpha \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Lời giải
Nếu \(\alpha \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Đáp án A
Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:
A. \(A = \frac{5}{2}\) | B. \(A = \frac{1}{2}\) |
C. \(A = \frac{3}{2}\) | D. \(A = 1\) |
Phương pháp
\(\sin {30^0} = \frac{1}{2},\cos {60^0} = \frac{1}{2}\)
Lời giải
\(A = \sin {30^0} + \cos {60^0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Đáp án D
Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:
A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) | B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\) |
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\) | D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\) |
Phương pháp
Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì theo định lí côsin ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Đáp án A
Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 10cm | B. 20cm |
C. \(10\sqrt 2 cm\) | D. \(20\sqrt 2 cm\) |
Phương pháp
Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Lời giải
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(R = \frac{{CA}}{{2\sin B}} = \frac{{40}}{{2\sin {{45}^0}}} = 20\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
Đáp án D
Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\) | B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\) |
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\) | D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\) |
Phương pháp
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)
Lời giải
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.5.6.\sin {45^0} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án B
Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:
A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Phương pháp
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Lời giải
Tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Đáp án C
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. 2020 là số chia hết cho 3
B. \(\pi > 3,15\)
C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều
D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân
Phương pháp
Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
Lời giải
Mệnh đề đúng là: Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân.
Đáp án D
Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:
A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”
B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”
C. “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”
D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”
Phương pháp
Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu \(\overline P \). Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng.
Lời giải
Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ.
Đáp án A
Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16
C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16
D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
Phương pháp
Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) (hay “Nếu P thì Q”) là \(Q \Rightarrow P\) (hay “Nếu Q thì P”)
Lời giải
Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là: Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16
Đáp án B
Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:
Phương pháp
Tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}|x < a} \right\}\) kí hiệu là khoảng \(\left( { - \infty ;a} \right)\) được biểu diễn trên trục số là:
Lời giải
Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:
Đáp án A
Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.
A. \(A \subset B\) | B. \(A \cap B = C\) |
C. \(A \cup B = C\) | D. \(A\backslash B = C\) |
Phương pháp
Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).
Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).
Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\).
Lời giải
Ta có: \(A \cap B = \left\{ {2;3} \right\},A \cup B = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Vậy \(A \cup B = C\)
Đáp án C
Câu 26: Chọn đáp án đúng:
A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\) |
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | D. Cả A, B, C đều đúng. |
Phương pháp
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của tập hợp B, và viết là \(A \subset B\)
Lời giải
Các khẳng định đúng là: \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)
Đáp án D
Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Ta có: \(6x + 4y - 3 > 9 \Leftrightarrow 6x + 4y - 12 > 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 > 0\)
Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) và \(3.0 + 2.0 - 6 < 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(6x + 4y - 3 > 9\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm O.
Đáp án A
Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Nhận thấy, điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:3x - 2y + 6 = 0\) và \(3.0 - 2.0 + 6 > 0\) nên miền nghiệm của phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (không tính bờ) không chứa điểm O.
Đáp án B
Câu 29: Cho hình vẽ sau:
Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:
A. \(x - 2y - 1 \ge 0\) | B. \(x - 2y - 1 < 0\) |
C. \(x - 2y - 1 \le 0\) | D. \(x - 2y - 1 > 0\) |
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là: \(x - 2y - 1 = 0\)
Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(\Delta \), \(0 - 2.0 - 1 < 0\) và điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \(x - 2y - 1 > 0\).
Đáp án D
Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:
A. \( - 6\) | B. 6 |
C. \( - 12\) | D. 12 |
Phương pháp
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ta làm như sau:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, xác định các đỉnh của đa giác.
Bước 2: Tính giá trị biểu thức F tại các đỉnh của đa giác đó.
Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F, giá trị nhỏ nhất của F là giá trị cần tìm.
Lời giải
Vẽ ba đường thẳng \({d_1}:x - 2y = - 2,{d_2}:7x - 4y = 16,{d_3}:2x + y = - 4\) và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh) với tọa độ các đỉnh \(A\left( {4;3} \right),B\left( {0; - 4} \right),C\left( { - 2;0} \right)\).
Tại \(A\left( {4;3} \right)\) ta có: \(F = 3.4 - 3 = 9\)
Tại \(B\left( {0; - 4} \right)\) ta có: \(F = 3.0 + 4 = 4\)
Tại \(C\left( { - 2;0} \right)\) ta có: \(F = 3.\left( { - 2} \right) - 0 = - 6\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là \( - 6\) tại \(x = - 2;y = 0\)
Đáp án A
Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\) | B. \(\sin A = - \sin \left( {B + C} \right)\) |
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\) | D. \(\sin A = - 2\sin \left( {B + C} \right)\) |
Phương pháp
Áp dụng công thức: \(\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)
Lời giải
Tam giác ABC có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)
Ta có: \(\sin A = \sin \left[ {{{180}^0} - \left( {B + C} \right)} \right] = \sin \left( {B + C} \right)\)
Đáp án A
Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{180}^0},\alpha \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}\) là:
A. \(P = 2\) | B. \(P = 8\) |
C. \(P = \frac{1}{2}\) | D. \(P = \frac{1}{8}\) |
Phương pháp
Sử dụng kiến thức \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Lời giải
\(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = \frac{{2\tan \alpha - 3}}{{3\tan \alpha + 2}} = \frac{{2.2 - 3}}{{3.2 + 2}} = \frac{1}{8}\)
Đáp án D
Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)
A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\) | B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\) |
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\) | D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\) |
Phương pháp
Định lí Côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải
Áp dụng định lí Côsin vào tam giác ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)
\( \Rightarrow {8^2} = {6^2} + {5^2} - 2.5.6.\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{{ - 1}}{{20}} \Rightarrow \widehat A \approx 92,{87^0}\)
Đáp án C
Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 65cm | B. \(\frac{{65}}{8}cm\) |
C. \(\frac{{65}}{2}cm\) | D. \(\frac{{65}}{4}cm\) |
Phương pháp
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), p là nửa chu vi tam giác và R là bán kính đường tròn ngoài tiếp tam giác thì diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Lời giải
Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\left( {cm} \right)\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt {21\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right)\left( {21 - 13} \right)} = \sqrt {21.7.8.6} = 84\left( {c{m^2}} \right)\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(\frac{{AB.AC.BC}}{{4.S}} = \frac{{13.14.15}}{{4.84}} = \frac{{65}}{8}\left( {cm} \right)\)
Đáp án B
Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:
A. \(2\sqrt 3 cm\) | B. \(\sqrt 3 cm\) |
C. 3cm | D. 2cm |
Phương pháp
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = pr\)
Lời giải
Nửa chu vi tam giác ABC là: \(\frac{{20}}{2} = 10\left( {cm} \right)\). Ta có: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Đáp án B
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).
a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\)
b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)
Phương pháp
Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).
Lời giải
a) \(A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).
b) Ta có: \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le - 1\\m - 4 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m > 10\end{array} \right.\).
Bài 2. (1,0 điểm)
Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha = {63^0},\widehat {CBD} = \beta = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân). |  |
Phương pháp
Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Lời giải
Vì góc DAC là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác DAB nên \(\widehat {ADB} = \alpha - \beta = {15^0}\)
Áp dụng định lí sin vào tam giác ADB ta có:
\(\frac{{AD}}{{\sin \beta }} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} \Rightarrow AD = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}\left( m \right)\)
Tam giác CDA vuông tại C nên \(DC = AD.\sin \alpha \Rightarrow h = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}.\sin {63^0} \approx 122,8\left( m \right)\)
Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Phương pháp
Định lý cosin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải
Ta có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\) nên \(B{C^4} > A{C^4},B{C^4} > A{B^4} \Rightarrow BC > AC,BC > AB\), do đó, góc A là góc lớn nhất.
Lại có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0 \Rightarrow B{C^4} = A{B^4} + A{C^4} < A{B^2}.B{C^2} + A{C^2}.B{C^2} \Rightarrow B{C^2} < A{B^2} + A{C^2}\)
Do đó, \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} > 0\). Do đó, góc A nhọn.
Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.
Tải về
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Chọn câu trả lời đúng.
A. Mệnh đề là một câu hỏi | B. Mệnh đề là một câu cảm thán |
C. Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai | D. Cả A, B, C đều đúng |
Câu 2: Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là:
A. \(\forall x \in \mathbb{Z},{x^3} = 10\) | B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\) |
C. \(\forall x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) | D. \(\exists x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) |
Câu 3: Chọn khẳng định sai:
A. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P đúng thì \(\overline P \) sai
B. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa khẳng định được P sai
C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P, kí hiệu là \(\overline P \)
D. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P sai thì \(\overline P \) đúng
Câu 4: Tập hợp nào dưới đây cho bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp:
A. \(A = \left[ {1;2;3;4;5} \right]\) | B. \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) |
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) | D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) |
Câu 5: Tập hợp C gồm các số tự nhiên lẻ. Viết tập hợp C bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
A. \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\) | B. \(C = \left\{ {1;3;5;7...} \right\}\) |
C. Cả A và B đều đúng. | D. Cả A và B đều sai |
Câu 6: Tập hợp A gồm các chữ cái trong từ “NHA TRANG” là:
A. \(A = \left\{ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) | B. \(A = \left\{ {H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) |
C. \(A = \left[ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right]\) | D. \(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\) |
Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
A. \(\left( { - 1;2} \right)\) | B. \(\left( {0; - 3} \right)\) |
C. \(\left( { - 2;3} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\) | B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\) |
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\) | D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\) |
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\left( {1;1} \right) \in S\) | B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\) |
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\) | D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\) |
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:
A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\) | B. \({x^2} + 2x - y > 0\) |
C. \(4y \le 11y\) | D. \(x + y - 5 > 0\) |
Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?
A. \(\left( {0;0} \right)\) | B. \(\left( {0;2} \right)\) |
C. \(\left( {2;0} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì:
A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \) | B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \sin \alpha \) |
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \) | D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \) |
Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:
A. \(\sin \alpha > 0\) | B. \(\cos \alpha > 0\) |
C. Cả A và B đều đúng | D. Cả A và B đều sai |
Câu 15: Với \(\alpha \ne {90^0}\), thì:
A. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) | B. \(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
C. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\) | D. \(\tan \alpha = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:
A. \(A = \frac{5}{2}\) | B. \(A = \frac{1}{2}\) |
C. \(A = \frac{3}{2}\) | D. \(A = 1\) |
Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:
A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) | B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\) |
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\) | D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\) |
Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 10cm | B. 20cm |
C. \(10\sqrt 2 cm\) | D. \(20\sqrt 2 cm\) |
Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\) | B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\) |
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\) | D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\) |
Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:
A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. 2020 là số chia hết cho 3
B. \(\pi > 3,15\)
C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều
D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân
Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:
A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”
B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”
C. “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”
D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”
Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16
C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16
D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:
Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.
A. \(A \subset B\) | B. \(A \cap B = C\) |
C. \(A \cup B = C\) | D. \(A\backslash B = C\) |
Câu 26: Chọn đáp án đúng:
A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\) |
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | D. Cả A, B, C đều đúng. |
Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:
Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:
Câu 29: Cho hình vẽ sau:
Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:
A. \(x - 2y - 1 \ge 0\) | B. \(x - 2y - 1 < 0\) |
C. \(x - 2y - 1 \le 0\) | D. \(x - 2y - 1 > 0\) |
Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:
A. \( - 6\) | B. 6 |
C. \( - 12\) | D. 12 |
Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\) | B. \(\sin A = - \sin \left( {B + C} \right)\) |
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\) | D. \(\sin A = - 2\sin \left( {B + C} \right)\) |
Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{180}^0},\alpha \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}\) là:
A. \(P = 2\) | B. \(P = 8\) |
C. \(P = \frac{1}{2}\) | D. \(P = \frac{1}{8}\) |
Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)
A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\) | B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\) |
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\) | D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\) |
Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 65cm | B. \(\frac{{65}}{8}cm\) |
C. \(\frac{{65}}{2}cm\) | D. \(\frac{{65}}{4}cm\) |
Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:
A. \(2\sqrt 3 cm\) | B. \(\sqrt 3 cm\) |
C. 3cm | D. 2cm |
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).
a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\) b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)
Bài 2. (1,0 điểm)
Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha = {63^0},\widehat {CBD} = \beta = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân). |  |
Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: C | Câu 2: B | Câu 3: B | Câu 4: B | Câu 5: A | Câu 6: D | Câu 7:D |
Câu 8: B | Câu 9: C | Câu 10: D | Câu 11: B | Câu 12: A | Câu 13: A | Câu 14: C |
Câu 15: A | Câu 16: D | Câu 17: A | Câu 18: D | Câu 19: B | Câu 20: C | Câu 21: D |
Câu 22: A | Câu 23: B | Câu 24: A | Câu 25: C | Câu 26: D | Câu 27: A | Câu 28: B |
Câu 29: D | Câu 30: A | Câu 31: A | Câu 32: D | Câu 33: C | Câu 34: B | Câu 35: B |
Câu 1: Chọn câu trả lời đúng.
A. Mệnh đề là một câu hỏi | B. Mệnh đề là một câu cảm thán |
C. Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai | D. Cả A, B, C đều đúng |
Phương pháp
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai
Lời giải
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai
Đáp án C
Câu 2: Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là:
A. \(\forall x \in \mathbb{Z},{x^3} = 10\) | B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\) |
C. \(\forall x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) | D. \(\exists x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\) |
Phương pháp
Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”, kí hiệu \(\exists \) đọc là tồn tại.
Lời giải
Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\)
Đáp án B
Câu 3: Chọn khẳng định sai:
A. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P đúng thì \(\overline P \) sai
B. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa khẳng định được P sai
C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P, kí hiệu là \(\overline P \)
D. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P sai thì \(\overline P \) đúng
Phương pháp
Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu \(\overline P \). Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng.
Lời giải
Khẳng định sai là: Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa chắc P sai
Đáp án B
Câu 4: Tập hợp nào dưới đây cho bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp:
A. \(A = \left[ {1;2;3;4;5} \right]\) | B. \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) |
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) | D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\) |
Phương pháp
Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý:
+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.
+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.
+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.
+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ ràng thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Lời giải
Tập hợp được viết bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp là: \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)
Đáp án B
Câu 5: Tập hợp C gồm các số tự nhiên lẻ. Viết tập hợp C bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
A. \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\) | B. \(C = \left\{ {1;3;5;7...} \right\}\) |
C. Cả A và B đều đúng. | D. Cả A và B đều sai |
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
Lời giải
Tập hợp C viết bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử là: \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\)
Đáp án A
Câu 6: Tập hợp A gồm các chữ cái trong từ “NHA TRANG” là:
A. \(A = \left\{ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) | B. \(A = \left\{ {H,A,T,R,A,N,G} \right\}\) |
C. \(A = \left[ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right]\) | D. \(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\) |
Phương pháp
Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý:
+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.
+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.
+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.
+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ ràng thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Lời giải
\(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\)
Đáp án D
Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?
A. \(\left( { - 1;2} \right)\) | B. \(\left( {0; - 3} \right)\) |
C. \(\left( { - 2;3} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Phương pháp
Sử dụng kiến thức: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Lời giải
Trong các điểm trên, chỉ có điểm \(\left( {1;1} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ.
Vậy điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right)\) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình
Đáp án D
Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\) | B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\) |
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\) | D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\) |
Phương pháp
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
Lời giải
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)
Đáp án B
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\left( {1;1} \right) \in S\) | B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\) |
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\) | D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\) |
Phương pháp
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Lời giải
Với \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\\2.1 + 5.\frac{1}{2} = \frac{9}{2} < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\not \in S\)
Với \(x = 1;y = 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 1 = 2 > 0\\2.1 + 5.1 = 7 < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;1} \right)\not \in S\)
Với \(x = 1;y = \frac{{ - 1}}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0\\2.1 - 5.\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{2} < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)
Với \(x = - 1;y = - 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 1 > 0\left( {VL} \right)\\ - 2.1 - 5.1 = - 7 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( { - 1; - 1} \right)\not \in S\)
Đáp án C
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:
A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)
C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d: - x + y = 1\) và \(0 + 0 < 1\) nên điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) . Vậy miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)
Đáp án D
Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\) | B. \({x^2} + 2x - y > 0\) |
C. \(4y \le 11y\) | D. \(x + y - 5 > 0\) |
Phương pháp
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng
\(ax + by + c > 0,ax + by + c \ge 0,ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0\)
Trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.
Lời giải
Bất phương trình \({x^2} + 2x - y > 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({x^2}\)
Đáp án B
Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?
A. \(\left( {0;0} \right)\) | B. \(\left( {0;2} \right)\) |
C. \(\left( {2;0} \right)\) | D. \(\left( {1;1} \right)\) |
Phương pháp
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các tọa độ là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Lời giải
Trong các điểm ở trên, chỉ có điểm \(\left( {0;0} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo. Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trong hình.
Đáp án A
Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì:
A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \) | B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \sin \alpha \) |
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \) | D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \) |
Phương pháp
Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)
Lời giải
Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)
Đáp án A
Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:
A. \(\sin \alpha > 0\) | B. \(\cos \alpha > 0\) |
C. Cả A và B đều đúng | D. Cả A và B đều sai |
Phương pháp
Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha > 0\)
Lời giải
Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha > 0\)
Đáp án C
Câu 15: Với \(\alpha \ne {90^0}\), thì:
A. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) | B. \(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
C. \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\) | D. \(\tan \alpha = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) |
Phương pháp
Nếu \(\alpha \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Lời giải
Nếu \(\alpha \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Đáp án A
Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:
A. \(A = \frac{5}{2}\) | B. \(A = \frac{1}{2}\) |
C. \(A = \frac{3}{2}\) | D. \(A = 1\) |
Phương pháp
\(\sin {30^0} = \frac{1}{2},\cos {60^0} = \frac{1}{2}\)
Lời giải
\(A = \sin {30^0} + \cos {60^0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Đáp án D
Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:
A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) | B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\) |
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\) | D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\) |
Phương pháp
Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì theo định lí côsin ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Đáp án A
Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 10cm | B. 20cm |
C. \(10\sqrt 2 cm\) | D. \(20\sqrt 2 cm\) |
Phương pháp
Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Lời giải
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(R = \frac{{CA}}{{2\sin B}} = \frac{{40}}{{2\sin {{45}^0}}} = 20\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
Đáp án D
Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:
A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\) | B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\) |
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\) | D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\) |
Phương pháp
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)
Lời giải
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.5.6.\sin {45^0} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án B
Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:
A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)
C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Phương pháp
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Lời giải
Tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Đáp án C
Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. 2020 là số chia hết cho 3
B. \(\pi > 3,15\)
C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều
D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân
Phương pháp
Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
Lời giải
Mệnh đề đúng là: Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân.
Đáp án D
Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:
A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”
B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”
C. “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”
D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”
Phương pháp
Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu \(\overline P \). Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng.
Lời giải
Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ.
Đáp án A
Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:
A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16
C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16
D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4
Phương pháp
Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) (hay “Nếu P thì Q”) là \(Q \Rightarrow P\) (hay “Nếu Q thì P”)
Lời giải
Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là: Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16
Đáp án B
Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:
Phương pháp
Tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}|x < a} \right\}\) kí hiệu là khoảng \(\left( { - \infty ;a} \right)\) được biểu diễn trên trục số là:
Lời giải
Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:
Đáp án A
Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.
A. \(A \subset B\) | B. \(A \cap B = C\) |
C. \(A \cup B = C\) | D. \(A\backslash B = C\) |
Phương pháp
Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).
Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).
Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\).
Lời giải
Ta có: \(A \cap B = \left\{ {2;3} \right\},A \cup B = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Vậy \(A \cup B = C\)
Đáp án C
Câu 26: Chọn đáp án đúng:
A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\) |
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\) | D. Cả A, B, C đều đúng. |
Phương pháp
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của tập hợp B, và viết là \(A \subset B\)
Lời giải
Các khẳng định đúng là: \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)
Đáp án D
Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Ta có: \(6x + 4y - 3 > 9 \Leftrightarrow 6x + 4y - 12 > 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 > 0\)
Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) và \(3.0 + 2.0 - 6 < 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(6x + 4y - 3 > 9\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm O.
Đáp án A
Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Nhận thấy, điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:3x - 2y + 6 = 0\) và \(3.0 - 2.0 + 6 > 0\) nên miền nghiệm của phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (không tính bờ) không chứa điểm O.
Đáp án B
Câu 29: Cho hình vẽ sau:
Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:
A. \(x - 2y - 1 \ge 0\) | B. \(x - 2y - 1 < 0\) |
C. \(x - 2y - 1 \le 0\) | D. \(x - 2y - 1 > 0\) |
Phương pháp
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)
Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)
Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Lời giải
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là: \(x - 2y - 1 = 0\)
Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(\Delta \), \(0 - 2.0 - 1 < 0\) và điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \(x - 2y - 1 > 0\).
Đáp án D
Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:
A. \( - 6\) | B. 6 |
C. \( - 12\) | D. 12 |
Phương pháp
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ta làm như sau:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, xác định các đỉnh của đa giác.
Bước 2: Tính giá trị biểu thức F tại các đỉnh của đa giác đó.
Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F, giá trị nhỏ nhất của F là giá trị cần tìm.
Lời giải
Vẽ ba đường thẳng \({d_1}:x - 2y = - 2,{d_2}:7x - 4y = 16,{d_3}:2x + y = - 4\) và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh) với tọa độ các đỉnh \(A\left( {4;3} \right),B\left( {0; - 4} \right),C\left( { - 2;0} \right)\).
Tại \(A\left( {4;3} \right)\) ta có: \(F = 3.4 - 3 = 9\)
Tại \(B\left( {0; - 4} \right)\) ta có: \(F = 3.0 + 4 = 4\)
Tại \(C\left( { - 2;0} \right)\) ta có: \(F = 3.\left( { - 2} \right) - 0 = - 6\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là \( - 6\) tại \(x = - 2;y = 0\)
Đáp án A
Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\) | B. \(\sin A = - \sin \left( {B + C} \right)\) |
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\) | D. \(\sin A = - 2\sin \left( {B + C} \right)\) |
Phương pháp
Áp dụng công thức: \(\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)
Lời giải
Tam giác ABC có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)
Ta có: \(\sin A = \sin \left[ {{{180}^0} - \left( {B + C} \right)} \right] = \sin \left( {B + C} \right)\)
Đáp án A
Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{180}^0},\alpha \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}\) là:
A. \(P = 2\) | B. \(P = 8\) |
C. \(P = \frac{1}{2}\) | D. \(P = \frac{1}{8}\) |
Phương pháp
Sử dụng kiến thức \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Lời giải
\(P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = \frac{{2\tan \alpha - 3}}{{3\tan \alpha + 2}} = \frac{{2.2 - 3}}{{3.2 + 2}} = \frac{1}{8}\)
Đáp án D
Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)
A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\) | B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\) |
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\) | D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\) |
Phương pháp
Định lí Côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải
Áp dụng định lí Côsin vào tam giác ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)
\( \Rightarrow {8^2} = {6^2} + {5^2} - 2.5.6.\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{{ - 1}}{{20}} \Rightarrow \widehat A \approx 92,{87^0}\)
Đáp án C
Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. 65cm | B. \(\frac{{65}}{8}cm\) |
C. \(\frac{{65}}{2}cm\) | D. \(\frac{{65}}{4}cm\) |
Phương pháp
Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), p là nửa chu vi tam giác và R là bán kính đường tròn ngoài tiếp tam giác thì diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Lời giải
Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\left( {cm} \right)\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt {21\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right)\left( {21 - 13} \right)} = \sqrt {21.7.8.6} = 84\left( {c{m^2}} \right)\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(\frac{{AB.AC.BC}}{{4.S}} = \frac{{13.14.15}}{{4.84}} = \frac{{65}}{8}\left( {cm} \right)\)
Đáp án B
Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:
A. \(2\sqrt 3 cm\) | B. \(\sqrt 3 cm\) |
C. 3cm | D. 2cm |
Phương pháp
Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = pr\)
Lời giải
Nửa chu vi tam giác ABC là: \(\frac{{20}}{2} = 10\left( {cm} \right)\). Ta có: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Đáp án B
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).
a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\)
b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)
Phương pháp
Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).
Lời giải
a) \(A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).
b) Ta có: \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le - 1\\m - 4 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 2\\m > 10\end{array} \right.\).
Bài 2. (1,0 điểm)
Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha = {63^0},\widehat {CBD} = \beta = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân). |  |
Phương pháp
Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Lời giải
Vì góc DAC là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác DAB nên \(\widehat {ADB} = \alpha - \beta = {15^0}\)
Áp dụng định lí sin vào tam giác ADB ta có:
\(\frac{{AD}}{{\sin \beta }} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} \Rightarrow AD = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}\left( m \right)\)
Tam giác CDA vuông tại C nên \(DC = AD.\sin \alpha \Rightarrow h = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}.\sin {63^0} \approx 122,8\left( m \right)\)
Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Phương pháp
Định lý cosin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải
Ta có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\) nên \(B{C^4} > A{C^4},B{C^4} > A{B^4} \Rightarrow BC > AC,BC > AB\), do đó, góc A là góc lớn nhất.
Lại có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0 \Rightarrow B{C^4} = A{B^4} + A{C^4} < A{B^2}.B{C^2} + A{C^2}.B{C^2} \Rightarrow B{C^2} < A{B^2} + A{C^2}\)
Do đó, \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} > 0\). Do đó, góc A nhọn.
Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.
Đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 6 là một bài kiểm tra quan trọng giúp học sinh đánh giá mức độ nắm vững kiến thức đã học trong giai đoạn đầu của năm học. Đề thi thường bao gồm các chủ đề chính như tập hợp, số thực, bất phương trình, hệ bất phương trình, hàm số bậc nhất và bậc hai, và các ứng dụng của chúng.
Cấu trúc đề thi giữa kì 1 Toán 10 thường được chia thành các phần sau:
Dưới đây là một số dạng bài tập thường xuất hiện trong đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 6:
Để giải đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 6 một cách hiệu quả, học sinh cần:
Bài 1: Giải bất phương trình 2x + 3 > 5
Lời giải:
2x + 3 > 5
2x > 5 - 3
2x > 2
x > 1
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > 1.
Để ôn tập và chuẩn bị tốt hơn cho đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 6, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hãy dành thời gian ôn tập và luyện tập đầy đủ trước khi tham gia kỳ thi. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn trong quá trình học tập. Chúc các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi giữa kì 1 Toán 10!
| Chủ đề | Mức độ quan trọng |
|---|---|
| Tập hợp | Trung bình |
| Số thực | Cao |
| Bất phương trình | Cao |
| Hàm số | Trung bình |
| Nguồn: toan11.edu.vn | |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
