Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán học cấp trung học phổ thông, đặc biệt là trong việc giải quyết các bài toán về bất phương trình bậc hai. Bài học này sẽ đi sâu vào việc tìm hiểu về dấu của tam thức bậc hai, một khái niệm then chốt để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực, và a ≠ 0. Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

2. Xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, ta cần xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: a > 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) luôn dương hoặc bằng 0 với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
  • f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
  • f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
  • f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂.
• Trường hợp 2: a < 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) luôn âm hoặc bằng 0 với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
  • f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
  • f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
  • f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂.

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2 > 0 và Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/2 và x₂ = 2. Do đó:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2.
• f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 2.
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2.

4. Ứng dụng của việc xác định dấu tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán bất phương trình bậc hai. Ví dụ, để giải bất phương trình ax² + bx + c > 0, ta cần xác định khoảng giá trị của x sao cho tam thức f(x) = ax² + bx + c dương.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:

1. Xác định dấu của tam thức f(x) = -x² + 4x - 3.
2. Giải bất phương trình x² - 3x + 2 > 0.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn học tập tốt!