Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trong chương 3 của sách Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 giới thiệu về khái niệm giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, là nền tảng cho việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số và đạo hàm.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số f: ℕ → ℝ, tức là một quy tắc xác định một số thực f(n) cho mỗi số tự nhiên n. Dãy số thường được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n = f(n).

2. Giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

2.1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Định nghĩa này có nghĩa là khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy số (u_n) sẽ tiến gần đến L một cách tùy ý.

2.2. Các tính chất của giới hạn dãy số

• Tính duy nhất: Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
• Tính chất cộng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất nhân: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất chia: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

3.1. Dãy số không đổi

Nếu u_n = C với mọi n, thì lim_n→∞ u_n = C.

3.2. Dãy số có dạng phân số

Để tính giới hạn của dãy số có dạng phân số, ta thường chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất xuất hiện trong biểu thức.

3.3. Dãy số có căn thức

Tương tự như dãy số có dạng phân số, ta thường đưa về dạng đơn giản bằng cách chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3)

Giải: Ta chia cả tử và mẫu cho n:

lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 + 3/n) = (2 + 0) / (1 + 0) = 2

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ √n

Giải: Dãy số √n không có giới hạn hữu hạn. Ta nói rằng dãy số √n tiến tới vô cùng, ký hiệu: lim_n→∞ √n = +∞

5. Bài tập áp dụng

1. Tính lim_n→∞ (3n - 2) / (2n + 1)
2. Tính lim_n→∞ (n² + 1) / (n² + 2n)
3. Tính lim_n→∞ √(4n² + 1) / (2n + 1)

Bài 1. Giới hạn của dãy số là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học giải tích. Việc nắm vững khái niệm và các tính chất của giới hạn dãy số sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về các khái niệm phức tạp hơn trong toán học.