Bài 3 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa affine. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như vector, ma trận, và các phép biến đổi hình học.

Nội dung bài tập

Bài 3 yêu cầu học sinh xác định ma trận của một phép biến hóa affine dựa trên các thông tin cho trước. Thông thường, bài tập sẽ cung cấp các điểm ảnh hưởng và ảnh của chúng sau phép biến hóa, từ đó học sinh cần tìm ra ma trận tương ứng.

Phương pháp giải

Để giải bài tập này, học sinh có thể sử dụng các phương pháp sau:

1. Xác định các vector cơ sở: Tìm các vector cơ sở của không gian vector và ảnh của chúng sau phép biến hóa.
2. Lập hệ phương trình: Sử dụng các điểm ảnh hưởng và ảnh của chúng để lập hệ phương trình tuyến tính.
3. Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình để tìm ra các phần tử của ma trận biến hóa.
4. Kiểm tra kết quả: Kiểm tra lại kết quả bằng cách áp dụng ma trận tìm được lên các điểm khác để xem có đúng với phép biến hóa đã cho hay không.

Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một phép biến hóa affine f biến điểm A(1, 2) thành A'(3, 4) và điểm B(0, 1) thành B'(2, 3). Để tìm ma trận của phép biến hóa f, chúng ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định các vector cơ sở. Trong trường hợp này, chúng ta có thể chọn vector e₁ = (1, 0) và e₂ = (0, 1).
• Bước 2: Tìm ảnh của các vector cơ sở sau phép biến hóa. Ta có f(e₁) = A' - A = (3-1, 4-2) = (2, 2) và f(e₂) = B' - A = (2-1, 3-2) = (1, 1).
• Bước 3: Lập ma trận biến hóa. Ma trận biến hóa M được tạo thành từ các vector ảnh của các vector cơ sở:

Vậy ma trận của phép biến hóa f là M = [[2, 1], [2, 1]].

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về phép biến hóa affine, học sinh cần chú ý các điểm sau:

• Nắm vững định nghĩa và tính chất của phép biến hóa affine.
• Hiểu rõ cách xác định ma trận của phép biến hóa affine.
• Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, học sinh có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Xác định ma trận của phép biến hóa affine biến điểm A(1, 1) thành A'(2, 3) và điểm B(2, 1) thành B'(4, 3).
• Bài 2: Cho ma trận biến hóa M = [[1, 2], [3, 4]]. Tìm ảnh của điểm C(0, 0) sau phép biến hóa.
• Bài 3: Chứng minh rằng hợp của hai phép biến hóa affine vẫn là một phép biến hóa affine.

Kết luận

Bài 3 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về phép biến hóa affine. Bằng cách nắm vững kiến thức lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa affine trong chương trình học Toán 11.