Bài 18. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, công thức và các ứng dụng của xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là hai biến cố. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

2. Tính chất của xác suất có điều kiện

• 0 ≤ P(A|B) ≤ 1
• P(A|B) = 1 khi và chỉ khi A ⊆ B (A là tập con của B)
• P(A|B) = 0 khi và chỉ khi A ∩ B = ∅ (A và B không có phần tử chung)

3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

a. Công thức xác suất đầy đủ:

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω (không gian mẫu), thì xác suất của biến cố A được tính bằng:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

b. Công thức Bayes:

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được biểu diễn như sau:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ”. Ta có:

P(A) = C²₅ / C²₈ = 10 / 28 = 5/14

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên là học sinh giỏi môn Toán khi biết học sinh đó giỏi môn Văn.

Giải:

Gọi A là biến cố “học sinh giỏi môn Toán” và B là biến cố “học sinh giỏi môn Văn”. Ta có:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.20 / 0.40 = 0.5

5. Bài tập luyện tập

1. Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp, biết rằng lần tung đầu tiên xuất hiện mặt ngửa.
2. Trong một cuộc khảo sát, 70% người được hỏi thích xem phim hành động và 50% người được hỏi thích xem phim hài. Biết rằng 30% người được hỏi thích xem cả hai loại phim. Tính xác suất một người được hỏi thích xem phim hài khi biết họ thích xem phim hành động.

6. Kết luận

Bài 18. Xác suất có điều kiện cung cấp những kiến thức nền tảng và quan trọng trong lý thuyết xác suất. Việc nắm vững các định nghĩa, công thức và ứng dụng của xác suất có điều kiện sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.