Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes - SGK Toán 12 Cánh diều

Bài 2 trong chương 6, tập 2 của sách Toán 12 Cánh diều tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc hiểu và vận dụng thành thạo hai công thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp trong thực tế.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số biến cố khác loại trừ lẫn nhau. Giả sử A là một biến cố và B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và hợp của chúng bằng A (B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = A). Khi đó, xác suất của A được tính như sau:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(B_n)P(A|B_n)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B_i) là xác suất của biến cố B_i.
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được phát biểu như sau:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A) là xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra.
• P(A|B) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B.
• P(A) là xác suất của biến cố A.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Giải:

Gọi A là biến cố sản phẩm là sản phẩm lỗi.

Gọi B₁ là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.

Gọi B₂ là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta có: P(B₁) = 0.6, P(B₂) = 0.4, P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) = 0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất để sản phẩm là sản phẩm lỗi là 0.024 hay 2.4%.

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.
• Bài 2: Một cuộc khảo sát cho thấy 70% người dân ủng hộ chính sách A. Trong số những người ủng hộ chính sách A, 60% là nam giới. Trong số những người không ủng hộ chính sách A, 40% là nam giới. Tính xác suất một người được khảo sát là nam giới và ủng hộ chính sách A.

5. Kết luận

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán xác suất. Việc nắm vững hai công thức này không chỉ giúp các em giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn ứng dụng vào thực tế cuộc sống. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!