Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Bài 22 thuộc Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian, là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 tập 2, Kết nối tri thức. Bài học này tập trung vào việc xác định điều kiện để hai đường thẳng trong không gian vuông góc với nhau, một khái niệm nền tảng cho các kiến thức hình học không gian nâng cao.

1. Khái niệm hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta thường sử dụng vectơ chỉ phương của chúng. Nếu hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc, thì hai đường thẳng đó cũng vuông góc.

2. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương \vec{a_1}" và \vec{a_2}". Hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc khi và chỉ khi:

1. \vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0

Tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 là điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng vuông góc.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương \vec{a_1} = (1, 2, 3)" và d₂ có vectơ chỉ phương \vec{a_2} = (1, -1, 0)". Kiểm tra xem hai đường thẳng này có vuông góc hay không?

Giải: Ta tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:

\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (1)(1) + (2)(-1) + (3)(0) = 1 - 2 + 0 = -1 \neq 0

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ không vuông góc.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương \vec{a_1} = (2, -1, 1)" và d₂ có vectơ chỉ phương \vec{a_2} = (1, 2, -2)". Kiểm tra xem hai đường thẳng này có vuông góc hay không?

Giải: Ta tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:

\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (2)(1) + (-1)(2) + (1)(-2) = 2 - 2 - 2 = -2 \neq 0

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ không vuông góc.

4. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có phương trình tham số:

• d₁: \begin{cases} x = 1 + t \ y = 2 - t \ z = 3 + 2t \end{cases}"
• d₂: \begin{cases} x = 2 - 2t \ y = 1 + t \ z = 4 - t \end{cases}"

Kiểm tra xem hai đường thẳng này có vuông góc hay không?

Bài tập 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng sau vuông góc:

• d₁: \begin{cases} x = 1 + t \ y = 2 - t \ z = 3 + mt \end{cases}"
• d₂: \begin{cases} x = 2 - t \ y = 1 + t \ z = 4 + t \end{cases}"

5. Lưu ý quan trọng

Khi xét tính vuông góc của hai đường thẳng, cần chú ý đến vectơ chỉ phương của chúng. Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, thì chúng không vuông góc. Ngoài ra, cần kiểm tra kỹ điều kiện tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm và điều kiện để hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Chúc các em học tập tốt!