Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương IX của SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa hình học và đại số.

1. Phương trình đường tròn

Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là: (x - a)² + (y - b)² = R². Để xác định một đường tròn, chúng ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của nó. Việc hiểu rõ phương trình này là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến đường tròn.

2. Điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn

Một phương trình bậc hai đối với x và y có dạng Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi:

• A = B
• C² + D² - 4AE > 0

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, tâm của đường tròn là I(-C/2A; -D/2A) và bán kính R = √(C² + D² - 4AE) / 2A.

3. Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn

Xét điểm M(x₀; y₀) và đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R². Ta tính khoảng cách d từ M đến tâm I(a; b) của đường tròn:

d = √((x₀ - a)² + (y₀ - b)²)

Dựa vào giá trị của d so với R, ta có thể xác định vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn:

• d < R: Điểm M nằm bên trong đường tròn.
• d = R: Điểm M nằm trên đường tròn.
• d > R: Điểm M nằm bên ngoài đường tròn.

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R², ta tính khoảng cách d từ tâm I(a; b) của đường tròn đến đường thẳng Δ:

d = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

Dựa vào giá trị của d so với R, ta có thể xác định vị trí tương đối:

• d < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
• d = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
• d > R: Đường thẳng không cắt đường tròn.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0.

Giải: Ta có A = 1, B = 1, C = -2, D = 4, E = -4. Kiểm tra điều kiện A = B và C² + D² - 4AE = (-2)² + 4² - 4(1)(-4) = 4 + 16 + 16 = 36 > 0. Vậy đây là phương trình của một đường tròn. Tâm I(1; -2) và bán kính R = √(36) / 2 = 3.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa điểm M(2; 1) và đường tròn (x - 1)² + (y + 2)² = 4.

Giải: Khoảng cách d = √((2 - 1)² + (1 + 2)²) = √(1 + 9) = √10. Vì √10 > 2, điểm M nằm bên ngoài đường tròn.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như toan11.edu.vn để luyện tập và củng cố kiến thức.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!