Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 59, 60, 61 của sách giáo khoa Toán 10 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải một cách cẩn thận, kèm theo các giải thích rõ ràng để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên
Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách hai điểm M, I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \).
\(\overrightarrow {MI} = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {b - y} \right)}^2}} \).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \).
Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).
b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\).
c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\).
Phương pháp giải:
a, b) Phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) và bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.
Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.
Lời giải chi tiết:
a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\).
b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\).
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
Đường trung trực \(\Delta \) của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(x + 3y - 8 = 0\).
Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận vecto \(\overrightarrow {AC} = (3; - 1)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 4 = 0\).
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.
Phương pháp giải:
Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R.
Phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có: tâm \(I(30;40)\) và bán kính \(R = 50\).
Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:
\({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 40} \right)^2} = {50^2}\).
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
b) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\).
c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 5 = 0\).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0\).
Phương pháp giải:
+) Phương trình có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)là đường tròn với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R.
+) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = 2,c = - 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1;2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).
b) Phương trình \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\) là phương trình dường tròn với tâm \(I( - 5; - 1)\) và bán kinh \(R = \sqrt {121} = 11\).
c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2,b = 4,c = 5\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 16 - 5 = 15 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I( 2; 4)\) và có bán kính \(R = \sqrt {15} \).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 3x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = - \frac{3}{2},b = - 2,c = - 1\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = \frac{{29}}{4}\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I\left( { - \frac{3}{2}; - 2} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \).
Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách hai điểm M, I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \).
\(\overrightarrow {MI} = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {b - y} \right)}^2}} \).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \).
Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\).
b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\).
c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\).
Phương pháp giải:
a, b) Phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) và bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.
Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.
Lời giải chi tiết:
a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\).
b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\).
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
Đường trung trực \(\Delta \) của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(x + 3y - 8 = 0\).
Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận vecto \(\overrightarrow {AC} = (3; - 1)\) làm vecto pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 4 = 0\).
\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
b) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\).
c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 5 = 0\).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0\).
Phương pháp giải:
+) Phương trình có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)là đường tròn với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R.
+) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = 2,c = - 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1;2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\).
b) Phương trình \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\) là phương trình dường tròn với tâm \(I( - 5; - 1)\) và bán kinh \(R = \sqrt {121} = 11\).
c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2,b = 4,c = 5\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 16 - 5 = 15 > 0\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I( 2; 4)\) và có bán kính \(R = \sqrt {15} \).
d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 3x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = - \frac{3}{2},b = - 2,c = - 1\).
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = \frac{{29}}{4}\).
Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I\left( { - \frac{3}{2}; - 2} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {\frac{{29}}{4}} \).
Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới.
Phương pháp giải:
Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R.
Phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có: tâm \(I(30;40)\) và bán kính \(R = 50\).
Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:
\({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 40} \right)^2} = {50^2}\).
Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C như sau: \(A(11;4).B(8;5),C(15;5)\). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?
Phương pháp giải:
a) Với phương trình thì tâm là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)thì tâm là \(I(a;b)\) và bán kính R.
b) Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng.
Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính.
+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng.
+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng.
Lời giải chi tiết:
a) (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\) nên có tâm là \(I(13;4)\) và bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {11 - 13} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2,IB = \sqrt {{{\left( {8 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \).
\(IC = \sqrt {{{\left( {15 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
\(2 < 4 \Rightarrow IA < R\), suy ra diễn viên A được chiếu sáng.
\(\sqrt {26} > 4 \Rightarrow IB > R\), suy ra diễn viên B không được chiếu sáng.
\(\sqrt 5 < 4 \Rightarrow IC < R\), suy ra diễn viên C được chiếu sáng.
Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng.
Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C như sau: \(A(11;4).B(8;5),C(15;5)\). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?
Phương pháp giải:
a) Với phương trình thì tâm là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)thì tâm là \(I(a;b)\) và bán kính R.
b) Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng.
Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính.
+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng.
+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng.
Lời giải chi tiết:
a) (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\) nên có tâm là \(I(13;4)\) và bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\).
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {11 - 13} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2,IB = \sqrt {{{\left( {8 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \).
\(IC = \sqrt {{{\left( {15 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
\(2 < 4 \Rightarrow IA < R\), suy ra diễn viên A được chiếu sáng.
\(\sqrt {26} > 4 \Rightarrow IB > R\), suy ra diễn viên B không được chiếu sáng.
\(\sqrt 5 < 4 \Rightarrow IC < R\), suy ra diễn viên C được chiếu sáng.
Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng.
Mục 1 của SGK Toán 10 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về vectơ. Các bài tập trong mục này yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất và các phép toán vectơ để giải quyết các bài toán hình học và đại số.
Bài 1 thường bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận về khái niệm vectơ, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực, tích vô hướng của hai vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học phẳng.
Bài 2 tập trung vào việc sử dụng tích vô hướng để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, tính chất vuông góc, và các bài toán hình học khác.
Bài 3 là một bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng tất cả các kiến thức và kỹ năng đã học trong mục 1 để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cho một số bài tập tiêu biểu trong mục 1:
Giải: Tích vô hướng của a và b được tính theo công thức: a.b = xa * xb + ya * yb. Trong trường hợp này, a.b = (1 * -3) + (2 * 4) = -3 + 8 = 5.
Giải: Vectơ BC = (5 - 3; 0 - 4) = (2; -4). Độ dài cạnh BC được tính theo công thức: |BC| = √(xBC2 + yBC2) = √(22 + (-4)2) = √(4 + 16) = √20 = 2√5.
Ngoài SGK Toán 10 tập 2, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 59, 60, 61 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
