Bài 3. Phép đối xứng trục

Bài 3. Phép đối xứng trục - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa phép đối xứng trục:

Phép đối xứng trục D_a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MM’. Đường thẳng a được gọi là trục đối xứng.

Ký hiệu: D_a(M) = M’

2. Tính chất của phép đối xứng trục:

• Bảo toàn khoảng cách: M’N’ = MN với mọi M, N và M’, N’ là ảnh của M, N qua phép đối xứng trục D_a.
• Bảo toàn góc: ∠M’N’P’ = ∠MNP với mọi M, N, P và M’, N’, P’ là ảnh của M, N, P qua phép đối xứng trục D_a.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng: Nếu đường thẳng Δ vuông góc với trục đối xứng a thì Δ’ = Δ. Nếu đường thẳng Δ không vuông góc với trục đối xứng a thì Δ’ song song với Δ.
• Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng a có phương trình ax + by + c = 0. Phép đối xứng trục D_a biến điểm M(x₀; y₀) thành điểm M’(x’; y’) có tọa độ được tính bởi công thức:

x’ = x₀ - 2a(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

y’ = y₀ - 2b(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

4. Ví dụ minh họa:

Cho điểm A(1; 2) và đường thẳng a có phương trình x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục D_a.

Giải:

Ta có: a = 1, b = -1, c = 1, x₀ = 1, y₀ = 2

ax₀ + by₀ + c = 1(1) + (-1)(2) + 1 = 0

Do đó, A’(1; 2) (điểm A nằm trên đường thẳng a).

5. Ứng dụng của phép đối xứng trục:

Phép đối xứng trục có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, ví dụ:

• Trong kiến trúc: Các công trình kiến trúc thường có tính đối xứng qua một trục để tạo ra sự cân bằng và hài hòa.
• Trong nghệ thuật: Phép đối xứng được sử dụng để tạo ra các tác phẩm nghệ thuật đẹp mắt và ấn tượng.
• Trong hình học: Phép đối xứng trục được sử dụng để chứng minh các định lý và giải các bài toán hình học.

6. Bài tập vận dụng:

1. Cho điểm B(-2; 3) và đường thẳng a có phương trình 2x + y - 5 = 0. Tìm tọa độ điểm B’ là ảnh của B qua phép đối xứng trục D_a.
2. Chứng minh rằng phép đối xứng trục bảo toàn đường tròn.
3. Tìm phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng x + 2y - 3 = 0 qua phép đối xứng trục D_a với a có phương trình x - y + 1 = 0.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép đối xứng trục. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế. Chúc bạn học tốt!