Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này được thiết kế để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong chuyên đề.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác, dễ hiểu, cùng với các lưu ý quan trọng để các em có thể tự tin làm bài tập và đạt kết quả tốt nhất.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB).
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo.
Trang 15 tập trung vào các bài tập về dãy số. Các bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa dãy số để xác định các số hạng của dãy, tìm số hạng tổng quát của dãy, và xét tính đơn điệu của dãy.
Ví dụ, bài tập 1 yêu cầu tìm số hạng thứ 5 của dãy số (un) được xác định bởi công thức un = 2n + 1. Giải bài tập này, ta chỉ cần thay n = 5 vào công thức để được u5 = 2 * 5 + 1 = 11.
Trang 16 giới thiệu về cấp số cộng. Các bài tập trên trang này yêu cầu học sinh xác định công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ n của cấp số cộng, và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.
Ví dụ, bài tập 2 yêu cầu tìm công sai của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 3 và số hạng thứ 5 u5 = 15. Ta có công thức u5 = u1 + 4d, suy ra 15 = 3 + 4d, từ đó tìm được d = 3.
Trang 17 tập trung vào cấp số nhân. Các bài tập trên trang này yêu cầu học sinh xác định công bội của cấp số nhân, tìm số hạng thứ n của cấp số nhân, và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.
Ví dụ, bài tập 3 yêu cầu tìm công bội của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và số hạng thứ 3 u3 = 8. Ta có công thức u3 = u1 * q2, suy ra 8 = 2 * q2, từ đó tìm được q = 2.
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong chuyên đề. Chúc các em học tập tốt!
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| un = u1 + (n-1)d | Số hạng thứ n của cấp số cộng |
| Sn = n/2 * (u1 + un) | Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng |
| un = u1 * q(n-1) | Số hạng thứ n của cấp số nhân |
| Sn = u1 * (1 - qn) / (1 - q) | Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (q ≠ 1) |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
