Bài 4. Cấp số nhân

Bài 4. Cấp số nhân - SGK Toán 11 Nâng cao: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài học này sẽ đi sâu vào các khía cạnh quan trọng của cấp số nhân, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức tổng quát và các ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = 0 thì u_n = 0 với mọi n.
• Nếu q = 1 thì u_n = u₁ với mọi n.
• Nếu q = -1 thì dãy số trở thành u₁, -u₁, u₁, -u₁,...

3. Công thức tổng quát của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được tính bằng công thức:

u_n = u₁.q^n-1

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• q là công bội của cấp số nhân.
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Tổng S_n của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bằng công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

5. Các dạng bài tập thường gặp về cấp số nhân

• Tìm số hạng tổng quát: Cho u₁ và q, tìm u_n.
• Tìm công bội: Cho u_n và u_m, tìm q.
• Tìm số hạng: Cho u₁, q và n, tìm u_n.
• Tìm tổng n số hạng đầu tiên: Cho u₁, q và n, tìm S_n.
• Ứng dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tế: Ví dụ: tính số tiền lãi sau một số kỳ hạn, tính sự tăng trưởng dân số,...

6. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có u₁ = 2 và q = 3. Tìm u₅.

Giải: u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có u₂ = 6 và u₄ = 24. Tìm công bội q.

Giải: Ta có u₄ = u₂.q² => 24 = 6.q² => q² = 4 => q = ±2

7. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. toan11.edu.vn cung cấp nhiều bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau để bạn có thể rèn luyện kỹ năng giải toán của mình.

8. Kết luận

Bài học về cấp số nhân đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất. Hãy ôn tập lại lý thuyết và luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất trong các bài kiểm tra và kỳ thi.