Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 4 trong chương VIII của sách Toán 11 tập 2, Cánh diều, tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: hai mặt phẳng vuông góc. Hiểu rõ về mối quan hệ này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và các bài toán ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng một trong các phương pháp sau:

• Phương pháp hình chiếu: Tìm hình chiếu vuông góc của một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này lên mặt phẳng kia. Nếu hình chiếu này vuông góc với mặt phẳng kia, thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
• Phương pháp sử dụng vector pháp tuyến: Nếu hai mặt phẳng có vector pháp tuyến lần lượt là n₁ và n₂, thì hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi n₁ ⋅ n₂ = 0 (tích vô hướng của hai vector pháp tuyến bằng 0).

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Có một số điều kiện để xác định hai mặt phẳng vuông góc:

1. Một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
2. Góc giữa hai vector pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 90°.
3. Hai mặt phẳng có một giao tuyến và trong mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vuông góc với giao tuyến đó.

3. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Khi hai mặt phẳng vuông góc, ta có những tính chất sau:

• Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng, thì nó vuông góc với mặt phẳng kia.
• Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và song song với một mặt phẳng khác, thì góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng kia bằng góc giữa mặt phẳng chứa nó và mặt phẳng kia.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là 2x + y - z + 1 = 0 và x - y + 2z - 2 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng này vuông góc.

Giải: Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n₁ = (2, 1, -1). Vector pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n₂ = (1, -1, 2). Ta có n₁ ⋅ n₂ = 2(1) + 1(-1) + (-1)(2) = 2 - 1 - 2 = -1 ≠ 0. Vậy hai mặt phẳng này không vuông góc.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD).

Giải: Vì H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD). Do đó, SH ⊥ AB và SH ⊥ AD. Xét tam giác SHA, ta có SH ⊥ AB và SH ⊥ AD. Vậy (SAB) ⊥ (SAD).

5. Ứng dụng của kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc

Kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
• Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Giải các bài toán về hình học không gian trong các lĩnh vực kỹ thuật, kiến trúc, và xây dựng.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu bạn gặp khó khăn.

Chúc bạn học tốt!