Bài 6. Cấp số cộng

Bài 6. Cấp số cộng - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.

1. Định nghĩa cấp số cộng

Dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d, với mọi n ≥ 1

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• d là công sai của cấp số cộng
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm

3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (S_n) được tính theo công thức:

S_n = (n/2) * (u₁ + u_n) = (n/2) * [2u₁ + (n - 1)d]

4. Các tính chất của cấp số cộng

• Nếu u_n = u_m thì u_n+k = u_m+k với mọi số nguyên k.
• Nếu u_n = u_m thì u_n+k + u_m-k = 2u_n với mọi số nguyên k sao cho 1 ≤ k ≤ min(n, m).

5. Ví dụ minh họa

Xét cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = (5/2) * (u₁ + u₅) = (5/2) * (2 + 14) = 40

6. Bài tập áp dụng

Hãy giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về cấp số cộng:

1. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có u₁ = 1 và d = 2.
2. Tìm công sai của cấp số cộng có u₂ = 5 và u₅ = 11.
3. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có u₁ = 3 và d = 4.

7. Ứng dụng của cấp số cộng

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính số tiền tiết kiệm hàng tháng theo một tỷ lệ nhất định.
• Tính chiều dài các cạnh của một hình vuông hoặc hình chữ nhật khi tăng dần theo một quy luật nhất định.
• Tính số lượng người trong một dòng họ qua các thế hệ.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số cộng. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.