Bài 2.11 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 2.11 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 2.11 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của chúng. Dưới đây là giải chi tiết từng phần của bài tập, cùng với hướng dẫn giải và các lưu ý quan trọng.

Nội dung bài tập

Bài 2.11 yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:

• Cho các điểm A, B, C, D. Tìm vectơ biểu diễn các vectơ AB, CD, AC, BD.
• Chứng minh rằng nếu AB = CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
• Tìm điều kiện để tứ giác ABCD là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Giải chi tiết

Phần 1: Tìm vectơ biểu diễn

Để tìm vectơ biểu diễn, ta sử dụng quy tắc trừ vectơ. Ví dụ, vectơ AB được biểu diễn bằng hiệu của tọa độ điểm B trừ tọa độ điểm A: AB = B - A.

Phần 2: Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng AB = DC hoặc AD = BC. Sử dụng quy tắc cộng và trừ vectơ, ta có thể chứng minh điều này.

Phần 3: Tìm điều kiện để tứ giác ABCD là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh thêm rằng góc BAC = 90 độ. Điều này có thể được kiểm tra bằng tích vô hướng của hai vectơ AB và AC.

Để tứ giác ABCD là hình thoi, ta cần chứng minh rằng AB = BC = CD = DA.

Để tứ giác ABCD là hình vuông, ta cần chứng minh rằng nó vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Lưu ý quan trọng

• Nắm vững quy tắc cộng, trừ vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.
• Hiểu rõ các điều kiện để một tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
• Sử dụng tọa độ điểm để biểu diễn vectơ một cách chính xác.

Ví dụ minh họa

Giả sử A(1; 2), B(3; 4), C(5; 2), D(3; 0). Hãy tìm vectơ AB, CD, AC, BD và chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải:

• AB = B - A = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)
• CD = D - C = (3 - 5; 0 - 2) = (-2; -2)
• AC = C - A = (5 - 1; 2 - 2) = (4; 0)
• BD = D - B = (3 - 3; 0 - 4) = (0; -4)

Ta thấy AB = -CD, do đó AB = DC. Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể giải thêm các bài tập sau:

1. Cho các điểm M(2; -1), N(4; 3), P(-1; 5), Q(-3; 1). Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
2. Cho hình bình hành ABCD với A(0; 0), B(2; 1), D(3; -1). Tìm tọa độ điểm C.

Kết luận

Bài 2.11 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng của chúng. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các bạn học sinh có thể tự tin giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán 11.