Bài 9. Tích của một vecto với một số

Bài 9. Tích của một vecto với một số - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 10, vectơ là một khái niệm quan trọng, và việc hiểu rõ các phép toán trên vectơ là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn. Bài 9 trong sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào một phép toán cơ bản nhưng vô cùng hữu ích: tích của một vectơ với một số.

1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số

Cho vectơ a và một số thực k. Tích của vectơ a với số k, ký hiệu là k.a, là một vectơ được xác định như sau:

• Nếu k = 0 thì k.a = 0 (vectơ không).
• Nếu k > 0 thì k.a cùng hướng với a và có độ dài gấp k lần độ dài của a.
• Nếu k < 0 thì k.a ngược hướng với a và có độ dài gấp |k| lần độ dài của a.

Nói cách khác, k.a là một vectơ có:

• Hướng: Cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0, và không có hướng xác định nếu k = 0.
• Độ dài: |k.a| = |k| . |a|

2. Tính chất của phép nhân vectơ với một số

Phép nhân vectơ với một số có những tính chất quan trọng sau:

1. (m + n).a = m.a + n.a (tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ)
2. m.(a + b) = m.a + m.b (tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ)
3. (m.n).a = m.(n.a) (tính chất kết hợp)
4. 1.a = a (phần tử đơn vị)
5. 0.a = 0 (phần tử không)
6. (-1).a = -a (tính chất đổi dấu)

3. Ví dụ minh họa

Cho hai vectơ a và b cùng phương, ngược chiều nhau và có độ dài lần lượt là 3 và 2. Tính độ dài của các vectơ sau:

• 2.a
• -3.b
• 0.5.a

Giải:

• |2.a| = |2| . |a| = 2 . 3 = 6
• |-3.b| = |-3| . |b| = 3 . 2 = 6
• |0.5.a| = |0.5| . |a| = 0.5 . 3 = 1.5

4. Ứng dụng của tích của một vectơ với một số

Phép nhân vectơ với một số có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý, ví dụ:

• Biểu diễn lực tác dụng lên một vật thể.
• Xác định vận tốc của một vật thể.
• Tính toán các đại lượng vectơ trong không gian.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về tích của một vectơ với một số, bạn có thể thực hành các bài tập sau:

• Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 4 và 5, và góc giữa chúng là 60 độ. Tính độ dài của vectơ 3.a - 2.b.
• Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA = (AB + AC)/2.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tích của một vectơ với một số. Chúc bạn học tốt!