Trắc nghiệm Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng Toán 8 Kết nối tri thức

Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông.

Gọi K là giao điểm AD, BC.

Vì \(\widehat C + \widehat D = {90^o}\) nên \(\widehat K = {90^o}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông vào các tam giác:

+ ΔKAC vuông tại K ta có: AC² = KC² + KA².

+ ΔKBD vuông tại K ta có: BD² = KB² + KD².

+ ΔKBA vuông tại K ta có: BA² = KA² + KB².

+ ΔKBD vuông tại K ta có: CD² = KC² + KD².

Từ đó AC²+ BD² = KC² + KA² + KB² + KD²

= (KB² +KA²) + (KD² + KC²) = AB² + DC².

Xét hình thang cân ABCD có đáy lớn CD và đáy nhỏ AB đường cao AH ta có:

\(C{{D}} = AB + 2.DH \Rightarrow DH = \frac{{C{{D}} - AB}}{2} \Rightarrow DH = \frac{{22 - 12}}{2} = 5cm\)

Áp dụng định lí Pythago cho tam giác AHD vuông tại H có AD = BC = 13 cm và

DH = 5 cm ta có:

\(A{H^2} = A{{{D}}^2} - D{H^2} = {13^2} - {5^2} = 144 \Rightarrow AH = \sqrt {144} = 12cm\)

Kẻ \(BH \bot C{{D}}\) tại H.

Xét tam giác vuông BDH, theo định lý Pytago ta có: \(B{{{D}}^2} = D{H^2} + B{H^2}\)

Xét tam giác vuông CBH, theo định lý Pytago ta có: \(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2}\)

Suy ra: \(B{{{D}}^2} - B{C^2} = D{H^2} - C{H^2} = \left( {DH + CH} \right)\left( {DH - CH} \right) = C{{D}}.AB\)

(Do DH + CH = CD; DH – CH = AB)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông, ta được độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng

\(\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = \sqrt {169} = 13\;\left( {cm} \right)\)

Hình chữ nhật \(ABCD\) có \(CD = AB = 6\;\;cm\).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(BCD\) , ta có:

\(BC = \sqrt {B{D^2} - C{D^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = \sqrt {64} = 8\;\;\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 6² + 8²

⇒ BC² = 100. Suy ra BC = 10 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 10 : 2 = 5cm

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Tam giác ABC vuông cân ở A nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) mà

AB = AC = 2 dm

Nên \(B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow BC = \sqrt 8 dm\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B ta được :

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = A{C^2} - B{C^2} \Rightarrow {x^2} = {13^2} - {12^2} = 25 \Rightarrow x = 5cm\)

Vậy x = 5 cm

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\)

Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {y^2} = 26{}^2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 676\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{{12}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{144}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{25 + 144}} = \frac{{676}}{{169}} = 4\)

Suy ra \({x^2} = 25.4 \Rightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10cm\)

\({y^2} = 144.4 \Rightarrow {y^2} = 576 \Rightarrow y = 24cm\)

Kẻ \(AH \bot B{{D}}\) tại H.

Khi đó ACDH là hình chữ nhật, suy ra: HD = AC = 6; AH = CD = 8.

Do đó: BH = BD – HD = 10 – 6 = 4

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {8^2} = 80 \Rightarrow AB = 4\sqrt 5 \)

Vậy \(x = 4\sqrt 5 \)

Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\).

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\B{C^2} = {5^2} = 25\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array}\)

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABH\) vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\\ \Rightarrow AH = \sqrt {12} cm\end{array}\)

Vậy \(AH = \sqrt {12} cm\)

+) Với bộ số: 15cm; 8cm; 18cm ta thấy : \({18^2} = 324{,^{}}{15^2} + {8^2} = 289 < 324\) nên loại đáp án A.

+) Với bộ số: 21dm; 20dm; 29dm ta thấy : \({29^2} = 841{;^{}}{21^2} + {20^2} = 841 = {29^2}\) nên đây là ba cạnh của tam giác vuông.

+) Với bộ số: 5m; 6m; 8m ta thấy : \({8^2} = 64{;^{}}{5^2} + {6^2} = 61 < 64\) nên loại đáp án C.

+) Với bộ số: 2m; 3m; 4m ta thấy : \({4^2} = 16{;^{}}{3^2} + {2^2} = 13 < 16\) nên loại đáp án D.

Vì ABCD là hình vuông nên AB = AC = 4cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. cho tam giác ABC vuông tại B ta có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {4^2} + {4^2} = 32 \Rightarrow AC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 cm\)

Tam giác PQR vuông tại P nên theo định lí Pythagore ta có: \(Q{{{R}}^2} = P{Q^2} + P{{{R}}^2}\) nên câu C đúng.

Vì độ dài đoạn thẳng là một số dương nên QR > PQ; QR > PR

Suy ra các câu A, B đúng.

Câu trả lời sai là câu D.

+) Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm

+) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {25^2} - {20^2} = 225 \Rightarrow AB = 15cm\)

+) Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

\(H{B^2} + H{A^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AH = 12cm\)

+) Vậy AH = 12cm ; AB = 15cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow BH = 3(cm)\end{array}\)

Suy ra: \(BC = HB + HC = 3 + \sqrt {184} \)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {\left( {\sqrt {184} } \right)^2} = 200 \Rightarrow AC = \sqrt {200} \)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \(AB + AC + BC = 5 + \sqrt {200} + 3 + \sqrt {184} \approx 35,7cm\)

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {y > x > 0} \right)\) (cm) và độ dài cạnh huyền là \(z\left( {z > y} \right)\)(cm)

Theo đề bài ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) và x + y + z = 36

Đặt \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow x = 3k;y = 4k\)

Theo định lý Pythagore ta có: \({x^2} + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {z^2} = {\left( {3k} \right)^2} + {\left( {4k} \right)^2} = 25{k^2} = {\left( {5k} \right)^2} \Rightarrow z = 5k\)

Suy ra \(x + y + z = 3k + 4k + 5k = 12k = 36 \Rightarrow k = 3\) (thỏa mãn)

Từ đó: \(x{{ }} = {{ }}9{{ }}cm;{{ }}y{{ }} = {{ }}12{{ }}cm;{{ }}z{{ }} = {{ }}15cm.\)

Vậy cạnh huyền dài 15 cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào Tam giác ABH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {9^2} - {3^2} = 72\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào tam giác ACH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {11^2} - 72 = 49\\ \Rightarrow x = HC = \sqrt {49} = 7\end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {ACB} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

Lại có BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gỉa thiết) nên : \(\widehat {AB{{D}}} = \widehat {DBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}\).

Tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ACB} = {30^o}\) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\) hay BC = 2 AB.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{A}}B} \right)^2} = A{B^2} + {3^2}\\ \Rightarrow 4{{A}}B = A{B^2} + 9\\ \Rightarrow 3{{A}}{B^2} = 9\\ \Rightarrow A{B^2} = 3\\ \Rightarrow AB = \sqrt 3 \end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A có: \(\widehat {AB{{D}}} = {30^o}\) nên \(A{{D}} = \frac{1}{2}B{{D}}\) hay BD = 2AD.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{{{D}}^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{AD}}} \right)^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2}\\ \Rightarrow 4{{{x}}^2} = 3 + {x^2}\\ \Rightarrow 3{{{x}}^2} = 3\\ \Rightarrow {x^2} = 1\\ \Rightarrow x = 1\end{array}\)

Ta có DE // HK nên: \(\widehat {E{{D}}H} = \widehat {DHK} = {90^o}\) (so le trong)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông DHK ta được:

\(D{K^2} = D{H^2} + H{K^2}\)

\(D{K^2} = {8^2} + {\left( {\sqrt {17} } \right)^2}\)

\(D{K^2} = 64 + 17 = 81 = {9^2}\\DK = 9\)

+ Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.

+ Trong tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của đường cao nhân với cạnh huyền.

\(B{C^2} = {\left( {7,5} \right)^2} = 56,25\)

\(A{C^2} + A{B^2} = {\left( {4,5} \right)^2} + {6^2} = 56,25\)

Ta thấy: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Ta lại có: \(AB.AC = AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.4,5}}{{7,5}} = 3,6(cm)\)

Tam giác ABD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có: \(A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} - B{{\rm{D}}^2} = {17^2} - {15^2} = 64 = {8^2} \)

nên \(A{\rm{D}} = 8(cm)\)

Suy ra \( C{\rm{D}} = AC - A{\rm{D}} = 17 - 8 = 9(cm)\)

Tam giác BCD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = C{{\rm{D}}^2} - B{{\rm{D}}^2} = {9^2} + {15^2} = 81 + 225 = 306\end{array}\)

nên \(BC = 3\sqrt {34} (cm)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}(1)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + C{H^2} = A{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = (2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(A{B^2} - B{H^2} = A{C^2} - C{H^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} - {18^2} = {x^2} - {32^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - {32^2} + {18^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 1024 + 324\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 700\end{array}\)

Ta có: BC = BH + CH = 18 + 32 = 50

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + {x^2} = {50^2}(3)\end{array}\)

Thay \(A{B^2} = {x^2} - 700\) vào (3) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 700 + {{\rm{x}}^2} = {50^2}\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 2500 + 700\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 3200\\ \Rightarrow {x^2} = 3200:2 = 1600\\ \Rightarrow x = \sqrt {1600} = 40\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow AB = {6^2} + 4,{5^2} = 36 + \frac{{81}}{4} = \frac{{225}}{4}\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\end{array}\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 4,5 + 8 = \frac{{25}}{2}\)

\( \Rightarrow B{C^2} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} = \frac{{625}}{4}(1)\)

Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = \frac{{225}}{4} + 100 = \frac{{625}}{4}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\). Chứng minh \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) suy ra tam giác ABC là tam giác vuông.

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\)

Ta có: \(S = \frac{1}{2}.4,8.a = \frac{1}{6}.6.b = \frac{1}{2}.8.c\) hay \(4,8{\rm{a}} = 6b = 8c = 2{\rm{S}}\)

Do đó: \(a = \frac{{2{\rm{S}}}}{{4,8}} = \frac{{5{\rm{S}}}}{{12}};b = \frac{{2{\rm{S}}}}{6} = \frac{S}{3};c = \frac{{2{\rm{S}}}}{8} = \frac{S}{4}\)

Ta có: \({b^2} + {c^2} = {\left( {\frac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{S}{4}} \right)^2} = \frac{{{S^2}}}{9} + \frac{{{S^2}}}{{16}} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}};{a^2} = {\left( {\frac{{5{\rm{S}}}}{{12}}} \right)^2} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}}\)

Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) nên tam giác đã cho là tam giác vuông, đỉnh góc vuông ứng với đường cao có độ dài là 4,8cm

Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông.

Gọi K là giao điểm AD, BC.

Vì \(\widehat C + \widehat D = {90^o}\) nên \(\widehat K = {90^o}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông vào các tam giác:

+ ΔKAC vuông tại K ta có: AC² = KC² + KA².

+ ΔKBD vuông tại K ta có: BD² = KB² + KD².

+ ΔKBA vuông tại K ta có: BA² = KA² + KB².

+ ΔKBD vuông tại K ta có: CD² = KC² + KD².

Từ đó AC²+ BD² = KC² + KA² + KB² + KD²

= (KB² +KA²) + (KD² + KC²) = AB² + DC².

Xét hình thang cân ABCD có đáy lớn CD và đáy nhỏ AB đường cao AH ta có:

\(C{{D}} = AB + 2.DH \Rightarrow DH = \frac{{C{{D}} - AB}}{2} \Rightarrow DH = \frac{{22 - 12}}{2} = 5cm\)

Áp dụng định lí Pythago cho tam giác AHD vuông tại H có AD = BC = 13 cm và

DH = 5 cm ta có:

\(A{H^2} = A{{{D}}^2} - D{H^2} = {13^2} - {5^2} = 144 \Rightarrow AH = \sqrt {144} = 12cm\)

Kẻ \(BH \bot C{{D}}\) tại H.

Xét tam giác vuông BDH, theo định lý Pytago ta có: \(B{{{D}}^2} = D{H^2} + B{H^2}\)

Xét tam giác vuông CBH, theo định lý Pytago ta có: \(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2}\)

Suy ra: \(B{{{D}}^2} - B{C^2} = D{H^2} - C{H^2} = \left( {DH + CH} \right)\left( {DH - CH} \right) = C{{D}}.AB\)

(Do DH + CH = CD; DH – CH = AB)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông, ta được độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng

\(\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = \sqrt {169} = 13\;\left( {cm} \right)\)

Hình chữ nhật \(ABCD\) có \(CD = AB = 6\;\;cm\).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(BCD\) , ta có:

\(BC = \sqrt {B{D^2} - C{D^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = \sqrt {64} = 8\;\;\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 6² + 8²

⇒ BC² = 100. Suy ra BC = 10 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 10 : 2 = 5cm

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Tam giác ABC vuông cân ở A nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) mà

AB = AC = 2 dm

Nên \(B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow BC = \sqrt 8 dm\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại B ta được :

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = A{C^2} - B{C^2} \Rightarrow {x^2} = {13^2} - {12^2} = 25 \Rightarrow x = 5cm\)

Vậy x = 5 cm

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\)

Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {y^2} = 26{}^2 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 676\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{{12}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} = \frac{{{y^2}}}{{144}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{25 + 144}} = \frac{{676}}{{169}} = 4\)

Suy ra \({x^2} = 25.4 \Rightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10cm\)

\({y^2} = 144.4 \Rightarrow {y^2} = 576 \Rightarrow y = 24cm\)

Kẻ \(AH \bot B{{D}}\) tại H.

Khi đó ACDH là hình chữ nhật, suy ra: HD = AC = 6; AH = CD = 8.

Do đó: BH = BD – HD = 10 – 6 = 4

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {8^2} = 80 \Rightarrow AB = 4\sqrt 5 \)

Vậy \(x = 4\sqrt 5 \)

Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\).

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\B{C^2} = {5^2} = 25\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array}\)

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABH\) vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\\ \Rightarrow AH = \sqrt {12} cm\end{array}\)

Vậy \(AH = \sqrt {12} cm\)

+) Với bộ số: 15cm; 8cm; 18cm ta thấy : \({18^2} = 324{,^{}}{15^2} + {8^2} = 289 < 324\) nên loại đáp án A.

+) Với bộ số: 21dm; 20dm; 29dm ta thấy : \({29^2} = 841{;^{}}{21^2} + {20^2} = 841 = {29^2}\) nên đây là ba cạnh của tam giác vuông.

+) Với bộ số: 5m; 6m; 8m ta thấy : \({8^2} = 64{;^{}}{5^2} + {6^2} = 61 < 64\) nên loại đáp án C.

+) Với bộ số: 2m; 3m; 4m ta thấy : \({4^2} = 16{;^{}}{3^2} + {2^2} = 13 < 16\) nên loại đáp án D.

Vì ABCD là hình vuông nên AB = AC = 4cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. cho tam giác ABC vuông tại B ta có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {4^2} + {4^2} = 32 \Rightarrow AC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 cm\)

Tam giác PQR vuông tại P nên theo định lí Pythagore ta có: \(Q{{{R}}^2} = P{Q^2} + P{{{R}}^2}\) nên câu C đúng.

Vì độ dài đoạn thẳng là một số dương nên QR > PQ; QR > PR

Suy ra các câu A, B đúng.

Câu trả lời sai là câu D.

+) Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm

+) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {25^2} - {20^2} = 225 \Rightarrow AB = 15cm\)

+) Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

\(H{B^2} + H{A^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AH = 12cm\)

+) Vậy AH = 12cm ; AB = 15cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow BH = 3(cm)\end{array}\)

Suy ra: \(BC = HB + HC = 3 + \sqrt {184} \)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {4^2} + {\left( {\sqrt {184} } \right)^2} = 200 \Rightarrow AC = \sqrt {200} \)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \(AB + AC + BC = 5 + \sqrt {200} + 3 + \sqrt {184} \approx 35,7cm\)

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x,y\left( {y > x > 0} \right)\) (cm) và độ dài cạnh huyền là \(z\left( {z > y} \right)\)(cm)

Theo đề bài ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) và x + y + z = 36

Đặt \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow x = 3k;y = 4k\)

Theo định lý Pythagore ta có: \({x^2} + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {z^2} = {\left( {3k} \right)^2} + {\left( {4k} \right)^2} = 25{k^2} = {\left( {5k} \right)^2} \Rightarrow z = 5k\)

Suy ra \(x + y + z = 3k + 4k + 5k = 12k = 36 \Rightarrow k = 3\) (thỏa mãn)

Từ đó: \(x{{ }} = {{ }}9{{ }}cm;{{ }}y{{ }} = {{ }}12{{ }}cm;{{ }}z{{ }} = {{ }}15cm.\)

Vậy cạnh huyền dài 15 cm

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào Tam giác ABH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {9^2} - {3^2} = 72\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương hai cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. vào tam giác ACH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {11^2} - 72 = 49\\ \Rightarrow x = HC = \sqrt {49} = 7\end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {ACB} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

Lại có BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gỉa thiết) nên : \(\widehat {AB{{D}}} = \widehat {DBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}\).

Tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ACB} = {30^o}\) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\) hay BC = 2 AB.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{A}}B} \right)^2} = A{B^2} + {3^2}\\ \Rightarrow 4{{A}}B = A{B^2} + 9\\ \Rightarrow 3{{A}}{B^2} = 9\\ \Rightarrow A{B^2} = 3\\ \Rightarrow AB = \sqrt 3 \end{array}\)

Tam giác ABC vuông tại A có: \(\widehat {AB{{D}}} = {30^o}\) nên \(A{{D}} = \frac{1}{2}B{{D}}\) hay BD = 2AD.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}B{{{D}}^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2{{AD}}} \right)^2} = A{B^2} + A{{{D}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2}\\ \Rightarrow 4{{{x}}^2} = 3 + {x^2}\\ \Rightarrow 3{{{x}}^2} = 3\\ \Rightarrow {x^2} = 1\\ \Rightarrow x = 1\end{array}\)

Ta có DE // HK nên: \(\widehat {E{{D}}H} = \widehat {DHK} = {90^o}\) (so le trong)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông DHK ta được:

\(D{K^2} = D{H^2} + H{K^2}\)

\(D{K^2} = {8^2} + {\left( {\sqrt {17} } \right)^2}\)

\(D{K^2} = 64 + 17 = 81 = {9^2}\\DK = 9\)

+ Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.

+ Trong tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của đường cao nhân với cạnh huyền.

\(B{C^2} = {\left( {7,5} \right)^2} = 56,25\)

\(A{C^2} + A{B^2} = {\left( {4,5} \right)^2} + {6^2} = 56,25\)

Ta thấy: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Ta lại có: \(AB.AC = AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.4,5}}{{7,5}} = 3,6(cm)\)

Tam giác ABD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có: \(A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} - B{{\rm{D}}^2} = {17^2} - {15^2} = 64 = {8^2} \)

nên \(A{\rm{D}} = 8(cm)\)

Suy ra \( C{\rm{D}} = AC - A{\rm{D}} = 17 - 8 = 9(cm)\)

Tam giác BCD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = C{{\rm{D}}^2} - B{{\rm{D}}^2} = {9^2} + {15^2} = 81 + 225 = 306\end{array}\)

nên \(BC = 3\sqrt {34} (cm)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}(1)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(A{H^2} + C{H^2} = A{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = (2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(A{B^2} - B{H^2} = A{C^2} - C{H^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} - {18^2} = {x^2} - {32^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - {32^2} + {18^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 1024 + 324\\ \Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 700\end{array}\)

Ta có: BC = BH + CH = 18 + 32 = 50

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + {x^2} = {50^2}(3)\end{array}\)

Thay \(A{B^2} = {x^2} - 700\) vào (3) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 700 + {{\rm{x}}^2} = {50^2}\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 2500 + 700\\ \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} = 3200\\ \Rightarrow {x^2} = 3200:2 = 1600\\ \Rightarrow x = \sqrt {1600} = 40\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow AB = {6^2} + 4,{5^2} = 36 + \frac{{81}}{4} = \frac{{225}}{4}\end{array}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\end{array}\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 4,5 + 8 = \frac{{25}}{2}\)

\( \Rightarrow B{C^2} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} = \frac{{625}}{4}(1)\)

Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = \frac{{225}}{4} + 100 = \frac{{625}}{4}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\). Chứng minh \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) suy ra tam giác ABC là tam giác vuông.

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích của tam giác ABC \(\left( {a,b,c,S > 0} \right)\)

Ta có: \(S = \frac{1}{2}.4,8.a = \frac{1}{6}.6.b = \frac{1}{2}.8.c\) hay \(4,8{\rm{a}} = 6b = 8c = 2{\rm{S}}\)

Do đó: \(a = \frac{{2{\rm{S}}}}{{4,8}} = \frac{{5{\rm{S}}}}{{12}};b = \frac{{2{\rm{S}}}}{6} = \frac{S}{3};c = \frac{{2{\rm{S}}}}{8} = \frac{S}{4}\)

Ta có: \({b^2} + {c^2} = {\left( {\frac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{S}{4}} \right)^2} = \frac{{{S^2}}}{9} + \frac{{{S^2}}}{{16}} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}};{a^2} = {\left( {\frac{{5{\rm{S}}}}{{12}}} \right)^2} = \frac{{25{{\rm{S}}^2}}}{{144}}\)

Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) nên tam giác đã cho là tam giác vuông, đỉnh góc vuông ứng với đường cao có độ dài là 4,8cm