Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Giải Toán 12 Cánh Diều Tập 1

Trong thống kê, việc đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu là vô cùng quan trọng. Nó giúp chúng ta hiểu được sự biến động của các giá trị trong tập dữ liệu đó. Bài 1 trong chương 3 của sách Toán 12 Cánh Diều tập 1 tập trung vào hai khái niệm chính: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

1. Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên (range) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một tập dữ liệu. Nó cho biết phạm vi mà các giá trị dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên:

R = X_max - X_min

Trong đó:

• R là khoảng biến thiên
• X_max là giá trị lớn nhất trong tập dữ liệu
• X_min là giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu

Ví dụ: Cho một mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Để tính khoảng biến thiên, ta cần xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Trong trường hợp này, giá trị nhỏ nhất là 10 và giá trị lớn nhất là 50 (ước lượng từ khoảng trên cùng). Vậy khoảng biến thiên là: R = 50 - 10 = 40.

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị (interquartile range - IQR) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường sự phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Công thức tính khoảng tứ phân vị:

IQR = Q₃ - Q₁

Để tính Q₁ và Q₃, ta cần xác định vị trí của chúng trong mẫu số liệu ghép nhóm. Công thức tổng quát:

Q_i = [L + ((n/4)i - cf)/f] * w

Trong đó:

• Q_i là tứ phân vị thứ i (i = 1, 2, 3)
• L là cận dưới của khoảng chứa Q_i
• n là tổng tần số
• cf là tần số tích lũy của khoảng trước khoảng chứa Q_i
• f là tần số của khoảng chứa Q_i
• w là kích thước khoảng

Ví dụ: Sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm ở trên, ta tính Q₁ và Q₃:

Tổng tần số n = 5 + 8 + 12 + 7 = 32

Tính Q₁:

Vị trí của Q₁ là n/4 = 32/4 = 8. Khoảng chứa Q₁ là [20, 30) với tần số 8. Vậy:

Q₁ = [20 + ((32/4)*1 - 5)/8] * 10 = [20 + (8 - 5)/8] * 10 = [20 + 0.375] * 10 = 203.75

Tính Q₃:

Vị trí của Q₃ là (3n)/4 = (3*32)/4 = 24. Khoảng chứa Q₃ là [30, 40) với tần số 12. Vậy:

Q₃ = [30 + ((32/4)*3 - (5+8))/12] * 10 = [30 + (24 - 13)/12] * 10 = [30 + 0.833] * 10 = 308.33

Vậy khoảng tứ phân vị là: IQR = Q₃ - Q₁ = 308.33 - 203.75 = 104.58

3. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên cho biết phạm vi rộng hẹp của dữ liệu, trong khi khoảng tứ phân vị tập trung vào sự phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Khoảng tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn so với khoảng biến thiên. Do đó, nó thường được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu một cách chính xác hơn.

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khảng	Tần số (ni)
[5, 15)	3
[15, 25)	7
[25, 35)	10
[35, 45)	5

2. Giải thích ý nghĩa của kết quả vừa tính được.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!