Bài 1. Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với bài học về Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và phương pháp giải các bài toán liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12.

Chúng tôi sẽ đi sâu vào lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập thực hành để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết. Hãy cùng bắt đầu!

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

I. Lý thuyết cơ bản

Để hiểu rõ về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Hàm số đơn điệu: Một hàm số được gọi là đơn điệu trên một khoảng nếu nó luôn tăng hoặc luôn giảm trên khoảng đó.
Hàm số đồng biến: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂).
Hàm số nghịch biến: Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).
Cực trị của hàm số: Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Tương tự, x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b).

II. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b):

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).

III. Điều kiện để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) và x₀ thuộc (a, b):

Nếu f'(x₀) = 0 và f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực trị của hàm số f(x).
Nếu f'(x₀) = 0 và f'(x) không đổi dấu khi x đi qua x₀ thì x₀ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm:f'(x) = 3x² - 6x
Tìm điểm dừng:f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Lập bảng xét dấu:
x -∞ 0 2 +∞
f'(x) + - +
f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số có cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

Bài 2: ... (tiếp tục với các bài tập khác)

V. Lưu ý quan trọng

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
Khi lập bảng xét dấu, cần xác định chính xác dấu của đạo hàm trên các khoảng khác nhau.
Chú ý đến các điểm không xác định của đạo hàm (ví dụ: điểm góc, điểm nhọn).

Hy vọng bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chúc bạn học tập tốt!