Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Giải chi tiết SGK Toán 12 Cánh diều

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi tọa độ (x; y; z). Vectơ a = (x; y; z) có điểm đầu A(x_A; y_A; z_A) và điểm cuối B(x_B; y_B; z_B) thỏa mãn:

• x = x_B - x_A
• y = y_B - y_A
• z = z_B - z_A

Độ dài của vectơ a được tính bằng công thức: |a| = √(x² + y² + z²)

II. Các phép toán vectơ trong không gian

1. Phép cộng vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Tổng của hai vectơ a + b được tính như sau:

a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)

2. Phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Hiệu của hai vectơ a - b được tính như sau:

a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

3. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k. Tích của vectơ a với số thực k được tính như sau:

ka = (kx; ky; kz)

III. Các tính chất của phép toán vectơ

• Tính giao hoán của phép cộng: a + b = b + a
• Tính kết hợp của phép cộng: (a + b) + c = a + (b + c)
• Tính chất của phép nhân với một số thực: k(a + b) = ka + kb

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và 2a.

Giải:

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• 2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

Ví dụ 2: Tìm tọa độ của vectơ AB biết A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6).

Giải:

AB = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)

V. Kết luận

Bài học về vectơ và các phép toán vectơ trong không gian là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức tiếp theo trong chương trình Toán 12. Hy vọng với những giải thích chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững kiến thức và có thể tự tin giải các bài tập liên quan.