Bài 11. Nguyên hàm

Bài 11. Nguyên hàm - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

1. Khái niệm nguyên hàm:

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng I là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ: ∫2x dx = x² + C

2. Tính chất của nguyên hàm:

• ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
• ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Các nguyên hàm cơ bản:

4. Phương pháp tìm nguyên hàm:

Để tìm nguyên hàm của một hàm số, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản: Tìm các thành phần của hàm số trong bảng nguyên hàm cơ bản và áp dụng tính chất của nguyên hàm.
• Phương pháp đổi biến số: Đặt u = g(x), suy ra du = g'(x)dx và biến đổi tích phân về dạng ∫f(u)du.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng công thức ∫u dv = uv - ∫v du.

5. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính ∫(x² + 3x - 1)dx

Giải:

∫(x² + 3x - 1)dx = ∫x²dx + 3∫xdx - ∫dx = (x³/3) + (3x²/2) - x + C

Ví dụ 2: Tính ∫x.e^xdx

Giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Đặt u = x, dv = e^xdx. Suy ra du = dx, v = e^x.

∫x.e^xdx = x.e^x - ∫e^xdx = x.e^x - e^x + C

6. Bài tập luyện tập:

1. Tính ∫(2x³ - 5x + 2)dx
2. Tính ∫x.cos(x)dx
3. Tính ∫(1/x + e^x)dx

Kết luận:

Bài học về nguyên hàm là nền tảng quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán tích phân. Việc nắm vững khái niệm, tính chất và các phương pháp tìm nguyên hàm sẽ giúp các em học sinh đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.

Chúc các em học tập tốt!