Bài 15. Giới hạn của dãy số

Bài 15. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 15 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào khái niệm giới hạn của dãy số, một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong giải tích. Hiểu rõ về giới hạn dãy số là nền tảng để học các khái niệm nâng cao hơn như giới hạn hàm số, đạo hàm, tích phân.

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

2. Các tính chất của giới hạn dãy số

• Tính duy nhất: Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
• Tính chất cộng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất trừ: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất nhân: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất chia: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

a. Dãy số không đổi

Nếu u_n = C với mọi n, thì lim_n→∞ u_n = C.

b. Dãy số có dạng phân số

Để tính giới hạn của dãy số có dạng phân số, ta thường chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất xuất hiện trong biểu thức.

c. Dãy số có căn thức

Tương tự như dãy số có dạng phân số, ta thường đưa về dạng đơn giản bằng cách chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3)

Giải: Ta chia cả tử và mẫu cho n:

lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 - 3/n) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ √(n + 1) / n

Giải: Ta chia cả tử và mẫu cho √n:

lim_n→∞ √(n + 1) / n = lim_n→∞ (√(n + 1) / √n) / (n / √n) = lim_n→∞ √(1 + 1/n) / √n = 0

5. Bài tập áp dụng

1. Tính lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5)
2. Tính lim_n→∞ (√(4n² + 1) - 2n)
3. Tính lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ

6. Kết luận

Bài 15. Giới hạn của dãy số là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững định nghĩa, các tính chất và các phương pháp tính giới hạn của dãy số sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng của mình.