Bài 16. Công thức tích góc trong không gian

I. Giới thiệu chung

Bài 16 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu và ứng dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và công cụ trong hình học không gian.

II. Nội dung chính

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Để hiểu rõ về công thức tích góc, trước tiên chúng ta cần nắm vững khái niệm về góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất tạo bởi hai vectơ chỉ phương của chúng.

Công thức tính góc θ giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b được cho bởi:

cos θ = |a ⋅ b| / (||a|| ⋅ ||b||)

2. Công thức tích vô hướng và ứng dụng

Công thức tích vô hướng đóng vai trò quan trọng trong việc tính góc giữa hai đường thẳng. Tích vô hướng của hai vectơ a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃) được tính như sau:

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Độ dài của vectơ a được tính bằng:

||a|| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương a = (1, 2, 3) và d₂ có vectơ chỉ phương b = (-2, 1, 0). Tính góc giữa hai đường thẳng này.

Giải:

1. Tính tích vô hướng: a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
2. Tính độ dài của các vectơ: ||a|| = √(1² + 2² + 3²) = √14, ||b|| = √((-2)² + 1² + 0²) = √5
3. Tính cos θ: cos θ = |0| / (√14 ⋅ √5) = 0
4. Suy ra θ = 90°

Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 90°.

4. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương a = (2, -1, 1) và d₂ có vectơ chỉ phương b = (1, 1, -1). Tính góc giữa hai đường thẳng này.

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau tại điểm A và có vectơ chỉ phương lần lượt là a = (1, 0, 0) và b = (0, 1, 0). Tính góc giữa hai đường thẳng này.

III. Lưu ý khi giải bài tập

• Luôn kiểm tra xem hai đường thẳng có song song hay trùng nhau hay không trước khi tính góc.
• Sử dụng đúng công thức tích vô hướng và độ dài của vectơ.
• Chú ý đến dấu của cos θ để xác định góc nhọn hay góc tù.

IV. Kết luận

Bài 16 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và quan trọng về công thức tích góc trong không gian. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Chúc các em học tập tốt!