Bài 18. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 18 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết xác suất: xác suất có điều kiện. Hiểu rõ về xác suất có điều kiện là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế liên quan đến xác suất và thống kê.

1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra, ký hiệu là P(B|A), là xác suất của biến cố B trong điều kiện biến cố A đã xảy ra. Công thức tính xác suất có điều kiện là:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (với P(A) > 0)

Trong đó:

• P(B|A): Xác suất của biến cố B khi biết A đã xảy ra.
• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao của A và B (tức là xác suất cả A và B đều xảy ra).
• P(A): Xác suất của biến cố A.

2. Các tính chất của xác suất có điều kiện

• 0 ≤ P(B|A) ≤ 1
• P(A|A) = 1
• Nếu A và B độc lập thì P(B|A) = P(B)

3. Quy tắc nhân xác suất

Quy tắc nhân xác suất cho phép tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố A và B:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

4. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”. Ta cần tính P(A ∩ B).

P(A) = 5/8

P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả đỏ, còn lại 4 quả đỏ và 3 quả xanh)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 15 học sinh, trong đó có 8 học sinh giỏi môn Toán và 7 học sinh giỏi môn Văn. Có 5 học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.

Giải:

Gọi A là biến cố “học sinh giỏi môn Toán” và B là biến cố “học sinh giỏi môn Văn”. Ta cần tính P(A ∪ B).

P(A) = 8/15

P(B) = 7/15

P(A ∩ B) = 5/15

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 8/15 + 7/15 - 5/15 = 10/15 = 2/3

5. Ứng dụng của xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Y học: Tính xác suất mắc bệnh khi có một số yếu tố nguy cơ nhất định.
• Tài chính: Đánh giá rủi ro trong đầu tư.
• Marketing: Phân tích hành vi khách hàng.
• Khoa học dữ liệu: Xây dựng các mô hình dự đoán.

6. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về xác suất có điều kiện, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức và các nguồn tài liệu khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ bản chất của bài toán và áp dụng đúng công thức.

Chúc bạn học tốt!