Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất có điều kiện.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác loại trừ lẫn nhau. Giả sử A là một biến cố và B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố xung khắc (loại trừ lẫn nhau) và đầy đủ (tổng xác suất bằng 1), tức là:

• B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω (không gian mẫu)
• P(B_i) > 0 với mọi i = 1, 2, ..., n
• B_i ∩ B_j = ∅ với mọi i ≠ j

Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n) = ∑_i=1ⁿ P(A|B_i)P(B_i)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• A: Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• B₁: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.
• B₂: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức Bayes được phát biểu như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó:

• P(B_i|A): Xác suất của biến cố B_i khi biết biến cố A đã xảy ra (xác suất hậu nghiệm).
• P(A|B_i): Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra (hàm khả năng).
• P(B_i): Xác suất của biến cố B_i (xác suất tiên nghiệm).
• P(A): Xác suất của biến cố A (bằng tổng xác suất toàn phần).

Ví dụ: Tiếp tục ví dụ trên, nếu một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi, tính xác suất sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền 1.

Giải:

• A: Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• B₁: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.

Ta đã tính được P(A) = 0.024. Ta có:

• P(A|B₁) = 0.02
• P(B₁) = 0.6

Áp dụng công thức Bayes:

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.012 / 0.024 = 0.5

Vậy, xác suất sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 1 là 50%.

3. Bài tập vận dụng

Để hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em có thể tham khảo các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.
2. Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân ủng hộ chính sách A, 30% người dân ủng hộ chính sách B, và 10% người dân không ủng hộ cả hai chính sách. Nếu một người dân được chọn ngẫu nhiên ủng hộ chính sách A, tính xác suất người đó không ủng hộ chính sách B.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc các em học tập tốt!