Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes - SBT Toán 12 Cánh Diều

I. Giới thiệu chung

Trong chương 6, Một số yếu tố xác suất, chúng ta đã làm quen với các khái niệm cơ bản về xác suất. Bài 2 này đi sâu vào hai công thức quan trọng: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt là khi thông tin về sự kiện được chia thành các trường hợp khác nhau.

II. Công thức xác suất toàn phần

1. Định nghĩa

Giả sử A là một biến cố. Gọi B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và hợp của chúng bằng A (B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = A). Khi đó, xác suất của A được tính theo công thức:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(B_n)P(A|B_n)

Công thức này cho phép tính xác suất của một biến cố A thông qua xác suất của các biến cố xung khắc đôi một B_i và xác suất có điều kiện của A khi biết B_i.

2. Ví dụ minh họa

Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để có ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “có ít nhất một quả bóng đỏ”.
• Biến cố đối của A là A^c: “không có quả bóng đỏ nào” (tức là cả hai quả bóng đều xanh).
• P(A^c) = C²₃ / C²₈ = 3/28
• P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 3/28 = 25/28

III. Công thức Bayes

1. Định nghĩa

Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được phát biểu như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó:

• P(B_i|A) là xác suất của biến cố B_i khi biết A đã xảy ra.
• P(A|B_i) là xác suất của biến cố A khi biết B_i đã xảy ra.
• P(B_i) là xác suất của biến cố B_i.
• P(A) là xác suất của biến cố A.

2. Ví dụ minh họa

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 5%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, biết sản phẩm đó bị lỗi. Tính xác suất sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền 1.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm bị lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.
• P(B₁) = 0.6, P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.05
• P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02*0.6 + 0.05*0.4 = 0.032
• P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02*0.6) / 0.032 = 0.375

IV. Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để có 1 quả trắng, 1 quả đen.
2. Một cuộc khảo sát cho thấy 70% người dân ủng hộ chính sách A, 30% không ủng hộ. Trong số những người ủng hộ, 80% cho rằng chính sách này sẽ có hiệu quả. Trong số những người không ủng hộ, 20% cho rằng chính sách này sẽ có hiệu quả. Chọn ngẫu nhiên một người, biết người đó cho rằng chính sách này sẽ có hiệu quả. Tính xác suất người đó ủng hộ chính sách A.

V. Kết luận

Bài 2 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất phức tạp một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng của mình.