Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công thức nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt là trong các tình huống có điều kiện.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố loại trừ lẫn nhau và đầy đủ. Giả sử A là một biến cố và B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố thỏa mãn:

• Các biến cố B_i đôi một loại trừ lẫn nhau (B_i ∩ B_j = ∅ với mọi i ≠ j).
• Hệ các biến cố B₁, B₂, ..., B_n đầy đủ (B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω, không gian mẫu).

Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết thông tin về một biến cố khác. Công thức được phát biểu như sau:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A) là xác suất của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra (xác suất hậu nghiệm).
• P(A|B) là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra (khả năng).
• P(B) là xác suất tiên nghiệm của biến cố B.
• P(A) là xác suất của biến cố A.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hai công thức này có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu và đưa ra dự đoán.
• Kinh tế: Dự báo thị trường và đánh giá rủi ro.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền B sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Giải:

Gọi A là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B, và L là biến cố sản phẩm là sản phẩm lỗi.

Ta có: P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(L|A) = 0.02, P(L|B) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là 0.024.

Ví dụ 2: Một bài kiểm tra có độ khó trung bình. 80% học sinh đã học bài, và trong số đó, 90% trả lời đúng câu hỏi. 20% học sinh không học bài, và trong số đó, chỉ có 10% trả lời đúng câu hỏi. Nếu một học sinh trả lời đúng câu hỏi, xác suất để học sinh đó đã học bài là bao nhiêu?

Giải:

Gọi H là biến cố học sinh đã học bài, và D là biến cố học sinh trả lời đúng câu hỏi.

Ta có: P(H) = 0.8, P(¬H) = 0.2, P(D|H) = 0.9, P(D|¬H) = 0.1

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(H|D) = [P(D|H)P(H)] / P(D) = [P(D|H)P(H)] / [P(D|H)P(H) + P(D|¬H)P(¬H)] = (0.9 * 0.8) / (0.9 * 0.8 + 0.1 * 0.2) = 0.72 / (0.72 + 0.02) = 0.72 / 0.74 ≈ 0.973

Vậy, xác suất để học sinh đó đã học bài là khoảng 97.3%.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo cung cấp nhiều bài tập đa dạng và phong phú, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và áp dụng kiến thức vào thực tế.