Bài 2. Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với bài học về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12, sách Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc SBT Toán Tập 1, Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết, phương pháp giải bài tập và các ví dụ minh họa để nắm vững kiến thức này. Đây là một phần quan trọng trong việc ôn thi THPT Quốc gia và xây dựng nền tảng toán học vững chắc.

Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

I. Lý thuyết cơ bản

Trong chương trình Toán 12, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là một chủ đề quan trọng, đặc biệt trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Dưới đây là tổng hợp lý thuyết cơ bản và các phương pháp giải bài tập liên quan đến chủ đề này.

1. Khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng hoặc tập hợp D. Ta nói:

M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M.
m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m.

2. Điều kiện để hàm số đạt GTLN, GTNN trên một khoảng

Nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có đạo hàm f'(x), thì:

Nếu f'(x) = 0 tại x₀ và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x₀ thì f(x₀) là GTLN của f(x) trên khoảng (a, b).
Nếu f'(x) = 0 tại x₀ và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ thì f(x₀) là GTNN của f(x) trên khoảng (a, b).

3. GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn [a, b]

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [a, b], ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và tại các mút của đoạn [a, b].
So sánh các giá trị đã tính để tìm GTLN và GTNN.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về GTLN, GTNN của hàm số, ta cần nắm vững lý thuyết và áp dụng linh hoạt các phương pháp sau:

1. Phương pháp sử dụng đạo hàm

Đây là phương pháp phổ biến nhất, dựa trên việc tìm điểm dừng và xét dấu đạo hàm. Cần chú ý đến các trường hợp hàm số không có đạo hàm tại một số điểm.

2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Một số bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM, v.v.

3. Phương pháp biến đổi hàm số

Đôi khi, ta cần biến đổi hàm số về một dạng đơn giản hơn để dễ dàng tìm GTLN, GTNN.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1, 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và mút của đoạn:

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
f(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2

So sánh các giá trị: GTLN của f(x) trên [-1, 3] là 2, đạt được tại x = 0 và x = 3. GTNN của f(x) trên [-1, 3] là -2, đạt được tại x = -1 và x = 2.

Ví dụ 2: Tìm GTLN của hàm số f(x) = -x² + 4x - 1.

Giải:

Hàm số là hàm bậc hai với hệ số a = -1 < 0, nên hàm số đạt GTLN tại đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh là x = -b/2a = -4/(2*(-1)) = 2. Giá trị GTLN là f(2) = -2² + 4*2 - 1 = 3.