Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức - Toán 12 Cánh Diều

Bài học này tập trung vào hai phân bố rời rạc quan trọng trong thống kê: phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Việc nắm vững kiến thức về hai phân bố này là nền tảng để hiểu sâu hơn về các khái niệm thống kê khác và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.

I. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Thử nghiệm này chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli với tham số p nếu P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 - p.
• Hàm phân phối xác suất:P(X = x) = p^x(1 - p)^1-x, với x ∈ {0, 1}.
• Các đặc trưng:
  • Giá trị kỳ vọng:E(X) = p
  • Phương sai:Var(X) = p(1 - p)
• Ví dụ: Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện thì kết quả là thành công (1) với xác suất 0.5, còn nếu mặt sấp xuất hiện thì kết quả là thất bại (0) với xác suất 0.5.

II. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Đây là một mở rộng của phân bố Bernoulli.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức với các tham số n và p nếu X biểu thị số lần thành công trong n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Ký hiệu: X ~ B(n, p).
• Hàm phân phối xác suất:P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^n-k, với k ∈ {0, 1, ..., n}.
• Các đặc trưng:
  • Giá trị kỳ vọng:E(X) = np
  • Phương sai:Var(X) = np(1 - p)
• Ví dụ: Tung một đồng xu 10 lần, số lần xuất hiện mặt ngửa tuân theo phân bố nhị thức với n = 10 và p = 0.5.

III. Mối quan hệ giữa phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có thể được xem là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến có cùng xác suất thành công p.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào bia. Biết xác suất bắn trúng bia của mỗi viên đạn là 0.8. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng ít nhất 4 viên đạn.

Giải: Gọi X là số viên đạn xạ thủ bắn trúng bia. X tuân theo phân bố nhị thức B(5, 0.8). Ta cần tính P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5).

P(X = 4) = C₅⁴ (0.8)⁴ (0.2)¹ = 5 * 0.4096 * 0.2 = 0.4096

P(X = 5) = C₅⁵ (0.8)⁵ (0.2)⁰ = 1 * 0.32768 * 1 = 0.32768

P(X ≥ 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728

V. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Kiểm định chất lượng: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
• Khảo sát dư luận: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
• Khoa học máy tính: Mô hình hóa các thuật toán học máy.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc bạn học tập tốt!