Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức - Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

I. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli là một phân bố xác suất rời rạc mô tả kết quả của một phép thử Bernoulli, một phép thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công hoặc thất bại. Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1-p.

1. Định nghĩa

Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli với tham số p nếu:

• P(X = 1) = p (thành công)
• P(X = 0) = 1 - p (thất bại)

2. Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của phân bố Bernoulli được định nghĩa như sau:

F(x) = P(X ≤ x)

Với:

• F(x) = 0 nếu x < 0
• F(x) = 1 - p nếu 0 ≤ x < 1
• F(x) = 1 nếu x ≥ 1

3. Các đặc trưng số của phân bố Bernoulli

• Giá trị kỳ vọng:E(X) = p
• Phương sai:Var(X) = p(1 - p)
• Độ lệch chuẩn:σ = √(p(1 - p))

II. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n phép thử Bernoulli độc lập, với xác suất thành công p không đổi trong mỗi phép thử.

1. Định nghĩa

Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức với các tham số n và p, ký hiệu là X ~ B(n, p), nếu X là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công là p.

2. Hàm phân phối xác suất

Hàm phân phối xác suất của phân bố nhị thức được định nghĩa như sau:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n

Trong đó, C_n^k là tổ hợp chập k của n.

3. Các đặc trưng số của phân bố nhị thức

• Giá trị kỳ vọng:E(X) = np
• Phương sai:Var(X) = np(1 - p)
• Độ lệch chuẩn:σ = √(np(1 - p))

III. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
• Khảo sát ý kiến: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
• Phân tích rủi ro: Đánh giá khả năng xảy ra một sự kiện nào đó.

IV. Bài tập ví dụ

Bài 1: Một đồng xu được tung 5 lần. Tính xác suất để được ít nhất 3 mặt ngửa.

Giải:

Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa. X tuân theo phân bố nhị thức B(5, 0.5).

P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

P(X = 3) = C₅³ * (0.5)³ * (0.5)² = 0.3125

P(X = 4) = C₅⁴ * (0.5)⁴ * (0.5)¹ = 0.15625

P(X = 5) = C₅⁵ * (0.5)⁵ * (0.5)⁰ = 0.03125

P(X ≥ 3) = 0.3125 + 0.15625 + 0.03125 = 0.5

Bài 2: Một máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn bị lỗi là 2%. Trong một lô 100 bóng đèn, tính xác suất có đúng 3 bóng đèn bị lỗi.

Giải:

Gọi X là số bóng đèn bị lỗi trong lô 100 bóng đèn. X tuân theo phân bố nhị thức B(100, 0.02).

P(X = 3) = C₁₀₀³ * (0.02)³ * (0.98)⁹⁷ ≈ 0.1823

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc bạn học tập tốt!