Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Trong thống kê, phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng quan trọng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Bài học này sẽ đi sâu vào việc tính toán và ứng dụng hai đại lượng này đối với mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mẫu số liệu ghép nhóm là tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng (nhóm) và mỗi khoảng được biểu diễn bằng một giá trị đại diện, thường là trung điểm của khoảng đó. Việc sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm giúp đơn giản hóa việc xử lý dữ liệu khi số lượng dữ liệu lớn và phức tạp.

2. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (ký hiệu là s²) là giá trị trung bình của bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong mẫu so với giá trị trung bình của mẫu. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s² = Σ[(x_i - x̄)² * n_i] / (N - 1)

Trong đó:

• x_i: Trung điểm của khoảng thứ i
• x̄: Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
• n_i: Tần số của khoảng thứ i
• N: Tổng số lượng dữ liệu trong mẫu (N = Σn_i)

3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (ký hiệu là s) là căn bậc hai của phương sai. Nó cho biết mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s = √s²

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng số liệu sau:

Bước 1: Tính giá trị trung bình (x̄)

x̄ = (15 * 5 + 25 * 8 + 35 * 7) / (5 + 8 + 7) = 27.5

Bước 2: Tính phương sai (s²)

s² = [(15 - 27.5)² * 5 + (25 - 27.5)² * 8 + (35 - 27.5)² * 7] / (20 - 1) = 73.75

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (s)

s = √73.75 ≈ 8.59

5. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

6. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

• Đánh giá mức độ đồng đều của một tập dữ liệu.
• So sánh mức độ phân tán giữa các tập dữ liệu khác nhau.
• Phân tích rủi ro trong tài chính và kinh doanh.

7. Bài tập luyện tập

1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn cho bảng số liệu sau:

Khoảng	Trung điểm (xi)	Tần số (ni)
[0, 10)	5	2
[10, 20)	15	5
[20, 30)	25	3

2. Giải thích ý nghĩa của kết quả vừa tính được.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!