Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - SGK Toán 9 - Kết nối tri thức

Bài 20 trong sách giáo khoa Toán 9 tập 2, chương trình Kết nối tri thức, tập trung vào một trong những kiến thức quan trọng nhất của đại số lớp 9: Định lí Viète và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình bậc hai một ẩn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về định lí này, bao gồm phát biểu, chứng minh, và các ví dụ minh họa cụ thể.

1. Phát biểu Định lí Viète

Định lí Viète khẳng định mối quan hệ giữa các hệ số của một phương trình bậc hai và các nghiệm của nó. Cụ thể, cho phương trình bậc hai:

ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0)

Nếu phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂, thì:

• Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
• Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tìm hiểu mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình, từ đó giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả.

2. Chứng minh Định lí Viète

Chứng minh định lí Viète dựa trên công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Theo công thức nghiệm, ta có:

x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a

x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a

Khi đó:

x₁ + x₂ = [(-b + √(b² - 4ac)) / 2a] + [(-b - √(b² - 4ac)) / 2a] = -2b / 2a = -b/a

x₁ * x₂ = [(-b + √(b² - 4ac)) / 2a] * [(-b - √(b² - 4ac)) / 2a] = (b² - (b² - 4ac)) / 4a² = 4ac / 4a² = c/a

Vậy, định lí Viète đã được chứng minh.

3. Ứng dụng của Định lí Viète

Định lí Viète có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải toán:

• Kiểm tra nghiệm của phương trình: Nếu biết hai số x₁ và x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = -b/a và x₁ * x₂ = c/a, thì x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0.
• Tìm nghiệm của phương trình: Nếu biết một nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại.
• Xây dựng phương trình bậc hai: Nếu biết tổng và tích của hai nghiệm, ta có thể xây dựng một phương trình bậc hai có hai nghiệm đó.
• Giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình: Định lí Viète giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn, ví dụ như tìm giá trị của biểu thức chứa nghiệm, hoặc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.

Ta có a = 1, b = -5, c = 6. Theo định lí Viète:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5

Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = 6/1 = 6

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x² + 3x - 5 = 0. Biết một nghiệm của phương trình là x₁ = 1. Hãy tìm nghiệm còn lại.

Ta có a = 2, b = 3, c = -5. Theo định lí Viète:

x₁ + x₂ = -3/2

1 + x₂ = -3/2

x₂ = -3/2 - 1 = -5/2

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về định lí Viète và ứng dụng của nó, các em hãy làm các bài tập sau:

1. Cho phương trình x² + 4x - 5 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.
2. Cho phương trình 3x² - 7x + 2 = 0. Biết một nghiệm của phương trình là x₁ = 2. Hãy tìm nghiệm còn lại.
3. Tìm giá trị của m để phương trình x² - 2mx + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn x₁ + x₂ = 4.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về định lí Viète và ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!