Định lí Viète là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt là khi học về phương trình bậc hai. Nắm vững định lí này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình mà còn là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu về Lý thuyết Định lí Viète và các ứng dụng thực tế, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
1. Định lí Viète Nếu ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình (a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)) thì (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - frac{b}{a}\{x_1}{x_2} = frac{c}{a}.end{array} right.)
1. Định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết hiệu quả, phù hợp với chương trình Toán 9 Kết nối tri thức.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thì:
Đây là công thức cốt lõi của Định lí Viète, cần được ghi nhớ và áp dụng linh hoạt trong quá trình giải toán.
Định lí Viète có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải toán, bao gồm:
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về Định lí Viète và phương pháp giải:
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0. Tính tổng và tích của các nghiệm.
Giải:
a = 2, b = -5, c = 3
Tổng hai nghiệm: x1 + x2 = -(-5)/2 = 5/2
Tích hai nghiệm: x1.x2 = 3/2
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Biết tổng hai nghiệm là 5 và tích hai nghiệm là 6. Tìm hai nghiệm của phương trình.
Giải:
Ta có hệ phương trình:
x1 + x2 = 5
x1.x2 = 6
Giải hệ phương trình này, ta được x1 = 2 và x2 = 3 (hoặc ngược lại).
Ví dụ: Cho phương trình x2 - (m+1)x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x12 + x22 = 5.
Giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần có Δ > 0. Δ = (m+1)2 - 4m = m2 + 2m + 1 - 4m = m2 - 2m + 1 = (m-1)2 > 0. Suy ra m ≠ 1.
Theo Định lí Viète, ta có:
x1 + x2 = m + 1
x1.x2 = m
Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = (m+1)2 - 2m = m2 + 2m + 1 - 2m = m2 + 1
Theo đề bài, x12 + x22 = 5, suy ra m2 + 1 = 5, hay m2 = 4. Vậy m = 2 hoặc m = -2.
Vì m ≠ 1, nên cả hai giá trị m = 2 và m = -2 đều thỏa mãn.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng trong Toán 9 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
