Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài học này sẽ đi sâu vào các khía cạnh quan trọng của cấp số nhân, giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
• Nếu cấp số nhân (u_n) có công bội q thì:
  • u_n+k = q^k.u_n
  • u_m.u_n = u_m+n

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

4. Các dạng bài tập thường gặp

a. Xác định cấp số nhân và công bội

Để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, ta cần kiểm tra xem tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp có là một hằng số khác 0 hay không. Nếu có, dãy số đó là cấp số nhân và hằng số đó là công bội.

b. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

Sử dụng công thức u_n = a.q^n-1, ta có thể tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân khi biết số hạng đầu tiên (a) và công bội (q).

c. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Áp dụng công thức S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1) hoặc S_n = n.u₁ (với q = 1) để tính tổng của n số hạng đầu tiên.

d. Giải các bài toán ứng dụng

Các bài toán ứng dụng cấp số nhân thường xuất hiện trong các lĩnh vực như tài chính, kinh tế, sinh học,... Việc hiểu rõ các tính chất và công thức của cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = -2. Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Giải: S₆ = u₁.(1 - q⁶) / (1 - q) = 1.(1 - (-2)⁶) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21

6. Luyện tập

1. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 2. Tính số hạng thứ 8 của cấp số nhân.
2. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = -1/2. Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
3. Một hình vuông có cạnh bằng 1. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông để tạo thành một hình vuông mới. Tiếp tục quá trình này. Tính diện tích của hình vuông thứ 5.

7. Kết luận

Bài học về cấp số nhân đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số đặc biệt này. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức của cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách tự tin và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.