Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương 5 của sách Toán 12 tập 2, chương trình Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc nghiên cứu phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz. Đây là một phần quan trọng trong hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và công cụ toán học để mô tả và phân tích các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.

I. Khái niệm cơ bản về mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách đến một điểm cố định (tâm của mặt cầu) bằng một độ dài không đổi (bán kính của mặt cầu). Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm I(a, b, c) và bán kính R được biểu diễn như sau:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

II. Các dạng phương trình mặt cầu

1. Phương trình chính tắc: Khi tâm mặt cầu trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0), phương trình mặt cầu trở thành: x² + y² + z² = R²
2. Phương trình tổng quát: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, với điều kiện a² + b² + c² - d > 0. Trong đó, tâm mặt cầu là I(a, b, c) và bán kính R = √(a² + b² + c² - d).

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1, -2, 3) và bán kính R = 5.

Giải: Áp dụng phương trình tổng quát của mặt cầu, ta có:

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 5²

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0

Giải: So sánh với phương trình tổng quát, ta có:

• a = 2
• b = -1
• c = 3
• d = 5

Tâm mặt cầu là I(2, -1, 3) và bán kính R = √(2² + (-1)² + 3² - 5) = √6

IV. Các dạng bài tập thường gặp

• Bài tập về lập phương trình mặt cầu: Cho trước tâm và bán kính, hoặc cho trước các điều kiện liên quan đến mặt cầu.
• Bài tập về xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Cho trước phương trình mặt cầu.
• Bài tập về vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu: Xác định xem một điểm có nằm trên, nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu.
• Bài tập về phương trình tiếp diện của mặt cầu: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm cho trước.

V. Lưu ý khi giải bài tập về phương trình mặt cầu

• Nắm vững phương trình tổng quát và phương trình chính tắc của mặt cầu.
• Chú ý điều kiện để phương trình là phương trình của một mặt cầu (a² + b² + c² - d > 0).
• Sử dụng các công thức và định lý liên quan đến hình học không gian để giải quyết các bài tập.
• Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình và giải các hệ phương trình.

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về phương trình mặt cầu trong kỳ thi Toán 12 sắp tới. Chúc các em học tập tốt!