Bài 4. Khoảng cách

Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11: Lý thuyết và Phương pháp Giải

Bài 4 trong SGK Toán 11 tập 2 tập trung vào việc tính toán khoảng cách trong không gian, một chủ đề quan trọng trong hình học không gian. Để hiểu rõ bài học này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan.

1. Khái niệm Khoảng cách trong Không gian

Khoảng cách trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm trong không gian. Trong bài học này, chúng ta sẽ xét các loại khoảng cách sau:

• Khoảng cách giữa hai điểm
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

2. Công thức Tính Khoảng cách

Để tính khoảng cách, chúng ta sử dụng các công thức sau:

• Khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂): d(A, B) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
• Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ: d(M, Δ) = |[MA x u]| / |u|, trong đó A là một điểm thuộc Δ, u là vector chỉ phương của Δ, và MA là vector từ A đến M.
• Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): d(M, P) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²), trong đó (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0.

3. Phương pháp Giải Bài tập

Để giải các bài tập về khoảng cách, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố cần thiết: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, vector chỉ phương, vector pháp tuyến.
2. Chọn công thức phù hợp để tính khoảng cách.
3. Thực hiện các phép tính toán một cách chính xác.
4. Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.

4. Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

d(A, B) = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(2, 1, 0) đến đường thẳng Δ: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t.

Giải:

Chọn A(1, 2, 3) thuộc Δ. Vector chỉ phương của Δ là u = (1, 1, 1). Vector MA = (1, -1, -3). MA x u = (0, 6, -2). |MA x u| = √(0² + 6² + (-2)²) = √40 = 2√10. |u| = √(1² + 1² + 1²) = √3. d(M, Δ) = (2√10) / √3 = (2√30) / 3

5. Bài tập Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm C(-1, 0, 2) và D(3, -2, 1).
• Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm N(0, 0, 0) đến mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 5 = 0.
• Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và d₂: x = 2 + t, y = 3 + t, z = 4 + t.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!