Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Khoảng cách trong chương trình SGK Toán 11. Đây là một phần kiến thức quan trọng, giúp bạn hiểu sâu hơn về các khái niệm cơ bản trong Hình học không gian và Hình học giải tích.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
A. Lý thuyết
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
| Cho điểm O không thuộc đường thẳng a. H là hình chiếu của O trên a. Độ dài OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a). |
Lưu ý:
- d(O,a) là nhỏ nhất so với khoảng cách từ O đến mọi điểm thuộc a.
- d(O,a) = 0 khi và chỉ khi O thuộc a.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
| Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a, b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng a đến đường thẳng b, kí hiệu là d(a,b). |
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
| Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng \((\alpha )\) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a đến \((\alpha )\). Khoảng cách giữa a và \((\alpha )\) được kí hiệu là \(d(a,(\alpha ))\). |
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
| Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((\alpha )\) và \((\beta )\) là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu là \(d((\alpha ),(\beta ))\). |
Lưu ý: \(d((\alpha ),(\beta )) = d(M,(\beta ))\) với \(M \in (\alpha )\) và \(d((\alpha ),(\beta )) = d(M',(\alpha ))\), với \(M' \in (\beta )\).
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Khái niệm
Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Nếu đường vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, kí hiệu d(a,b). |
b) Tính chất
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. |
Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng đó.
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường chéo AC’.
Giải:
Khoảng cách từ B đến AC’ là chiều cao BH của tam giác BAC’.
Ta có:
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(AB \bot (BB'C'C) \Rightarrow AB \bot BC'\); hay tam giác ABC’ vuông tại B.
AB = a, \(BC' = \sqrt 2 a\) (BB’C’C là hình vuông cạnh a) nên \(AC' = \sqrt 3 a\) (đường chéo hình lập phương cạnh a).
\(BA.BC' = BH.AC = 2{S_{\Delta ABC}}\). Suy ra \(BH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).
Vậy \(d(B;AC') = BH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng các từ S đến mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc nhau theo giao tuyến AB.
Gọi H là trung điểm của AB thì \(SH \bot AB\). Suy ra \(SH \bot (ABCD)\) tại H.
Vậy \(d(S,ABCD) = SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\) (chiều cao của tam giác đều cạnh a).
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và AD’.
Giải:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ABC’D’ là hình chữ nhật.
Do đó BC’ // AD’.
Vậy \(d(BC',AD') = d(A,BC') = AB = a\).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD).
Giải:
AB // CD, \(CD \subset (SCD)\) nên AB // (SCD).
Vậy \(d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD))\).
Ta có \(CD \bot SA\) và \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot (SAD)\). Vậy \((SAD) \bot (SCD)\).
Mà \((SAD) \cap (SCD) = SD\) nên gọi H là hình chiếu của A trên SD thì \(AH \bot (SCD)\) và \(d(A,(SCD)) = AH\).
Xét tam giác SAD vuông tại A có SA = 2a, AD = a nên \(S{D^2} = A{D^2} + S{A^2} = 5{a^2}\) hay \(SD = \sqrt 5 a\).
Suy ra \(AH.SD = SA.AD \Rightarrow AH = \frac{{SA.AD}}{{SD}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).
Vậy \(d(AB,(SCD)) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, A’ cách đều A, B, C và AA’ = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ này.
Giải:
Do (ABC) // (A’B’C’) nên \(d((ABC),(A'B'C')) = d(A',(ABC))\).
Vì tam giác ABC đều và AA’ = A’B = A’C nên A’.ABC là hình chóp tam giác đều.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: A’.ABC là hình chóp đều nên A’O vuông góc với (ABC) tại O. Vậy d(A’,(ABC)) = A’O.
Ta có \(A'O = \sqrt {A'{A^2} - A{O^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\).
Vậy \(d((ABC),(A'B'C')) = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\).
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) BB’ và AC.
b) BB’ và A’C.
c) AC và B’D’.
Giải:
a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có:
\(BO \bot AC\) (ABCD là hình vuông).
\(BO \bot BB'\) (do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(BB' \bot (ABCD)\)); BO cắt AC, BB’ lần lượt tại O, B.
Suy ra BO là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BB’ và AC.
Mà ABCD là hình vuông cạnh a, nên \(BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BB’ và AC là \(BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
b) Ta có: BB’ // AA’, suy ra (ACA’) chứa AC và song song với BB’.
Suy ra \(d(BB';AC) = d(BB';(ACA')) = d(B;(ACA')) = BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
c) Ta có AC và B’D’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song nhau là (ABCD) và (A’B’C’D’) nên \(d(AC,B'D') = d((ABCD),(A'B'C'D')) = AA' = a\).
Trong chương trình Toán 11, phần Lý thuyết Khoảng cách đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức Hình học nâng cao. Nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong SGK mà còn ứng dụng vào các bài toán thực tế và các kỳ thi quan trọng.
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:
d(M, Δ) = |ax0 + by0 + c| / √(a2 + b2)
Công thức này dựa trên việc tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng Δ và tính độ dài đoạn thẳng đó. Việc hiểu rõ nguyên lý hình học đằng sau công thức sẽ giúp học sinh áp dụng linh hoạt trong các bài toán khác nhau.
Trong không gian, khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 được tính theo công thức:
d(M, (P)) = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a2 + b2 + c2)
Tương tự như trường hợp trong mặt phẳng, công thức này dựa trên việc tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) và tính độ dài đoạn thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song với nhau, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên Δ1 đến Δ2 (hoặc ngược lại).
Để tính khoảng cách này, ta có thể chọn một điểm thuộc Δ1, ví dụ M(x0, y0), và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng như đã nêu ở trên.
Nếu hai mặt phẳng (P1) và (P2) song song với nhau, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (P1) đến (P2) (hoặc ngược lại).
Tương tự như trường hợp hai đường thẳng song song, ta có thể chọn một điểm thuộc (P1), ví dụ M(x0, y0, z0), và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng như đã nêu ở trên.
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng Δ: 2x - y + 3 = 0.
Giải:
d(A, Δ) = |2(1) - 2 + 3| / √(22 + (-1)2) = 3 / √5 = (3√5) / 5
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1): x + y + z - 1 = 0 và (P2): x + y + z - 4 = 0.
Giải:
Chọn điểm M(0, 0, 1) thuộc (P1). Khoảng cách từ M đến (P2) là:
d(M, (P2)) = |0 + 0 + 1 - 4| / √(12 + 12 + 12) = 3 / √3 = √3
Lý thuyết Khoảng cách là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán và ứng dụng vào thực tế. Hãy dành thời gian ôn tập và luyện tập để đạt kết quả tốt nhất!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
