Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 là một bước tiến quan trọng trong việc ứng dụng kiến thức đạo hàm vào giải quyết các bài toán thực tế. Nội dung bài học xoay quanh việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trong các bài toán tối ưu hóa, thường gặp trong kinh tế, kỹ thuật và các lĩnh vực khác.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi đối số tiến tới x₀.
• Quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit) và các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
• Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị: Sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm số (điểm cực đại, điểm cực tiểu).
• Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm uốn của hàm số.

II. Giải bài tập SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 - Bài 5

Bài 5.1

Đề bài: Một người nông dân muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần dùng bao nhiêu mét lưới để rào mảnh đất đó sao cho số mét lưới ít nhất?

Lời giải:

1. Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là x và y (x, y > 0).
2. Diện tích mảnh đất là xy = 100, suy ra y = 100/x.
3. Chu vi mảnh đất (số mét lưới cần dùng) là P = 2(x + y) = 2(x + 100/x).
4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta xét hàm số f(x) = 2(x + 100/x) với x > 0.
5. Tính đạo hàm f'(x) = 2(1 - 100/x²).
6. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 10.
7. Kiểm tra dấu của f'(x) trên các khoảng (0, 10) và (10, +∞) để xác định x = 10 là điểm cực tiểu của hàm số.
8. Khi x = 10, y = 100/10 = 10. Vậy mảnh đất hình vuông có cạnh 10m sẽ sử dụng ít lưới nhất.
9. Số mét lưới cần dùng là P = 2(10 + 10) = 40m.

Bài 5.2

Đề bài: Một công ty sản xuất hộp đựng quà hình trụ. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của hộp phải bằng bao nhiêu để thể tích hộp lớn nhất với một lượng vật liệu cho trước?

Lời giải: (Tương tự như bài 5.1, sử dụng đạo hàm để tìm cực đại của hàm số thể tích hộp)

III. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các bài tập trong SGK, các em có thể tìm hiểu thêm các bài toán ứng dụng đạo hàm trong các lĩnh vực khác như:

• Bài toán tối ưu hóa trong kinh tế: Tìm giá trị tối ưu của sản lượng, chi phí, lợi nhuận.
• Bài toán tối ưu hóa trong kỹ thuật: Tìm kích thước tối ưu của vật thể, hình dạng tối ưu của đường dẫn.
• Bài toán tìm điểm dừng tối ưu: Tìm điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Việc luyện tập thường xuyên và áp dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tế sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm và nâng cao kỹ năng giải toán.

Chúc các em học tốt môn Toán 12!