Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 2 trang 36, 37, 38 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này được thiết kế để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong SGK.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn luyện.
Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyển thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài đoạn CD là x (km \(0 < x < 8\))
Quãng đường AD dài: \(\sqrt {A{C^2} + D{C^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} \left( {km} \right)\)
Quãng đường BD dài \(8 - x\left( {km} \right)\)
Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là: \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ)
Xét hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) với \(0 < x < 8\)
Ta có: \(y' = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right)\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{81}}{7}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)
Bảng biến thiên:
Vậy anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm D cách C một khoảng bằng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}km\) thì đến B sớm nhất.
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 40 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Tìm hàm cầu.
b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?
c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là \(C\left( x \right) = 12\;000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hàm cầu để tìm hàm cầu: Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá).
b) Sử dụng kiến thức về hàm doanh thu để tính: Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là: R(x)=x.p(x), khi đó R(x) được gọi là hàm doanh thu.
c) Nếu x đơn vị được bán thì tổng lợi nhuận là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\) thì P(x) là hàm lợi nhuận và C(x) là hàm chi phí.
Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là \(p = p\left( x \right)\).
Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số \(p = p\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, \(p\left( x \right) = ax + b\) (a khác 0).
Giá tiền \({p _1} = 14\) ứng với \({x_1} = 1\;000\), giá tiền \({p_2} = 13,5\) ứng với \({x_2} = 1\;000 + 100 = 1\;100\)
Do đó, phương trình đường thẳng \(p\left( x \right) = ax + b\) đi qua hai điểm (1000; 14) và (1 100; 13,5). Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}14 = 1\;000a + b\\13,5 = 1\;100a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{200}}\\b = 19\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy hàm cầu là: \(p\left( x \right) = - \frac{1}{{200}}x + 19\)
b) Vì \(p = \frac{{ - 1}}{{200}}x + 19 \Rightarrow x = - 200p + 3\;800\)
Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là: \(R\left( p \right) = px = p\left( { - 200p + 3\;800} \right) = - 200{p^2} + 3\;800p\)
Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: \(R'\left( p \right) = - 400p + 3\;800,R'\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow p = \frac{{19}}{2}\)
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: \(14 - \frac{{19}}{2} = 4,5\) (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.
c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là: \(R\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x.\left( {\frac{{ - 1}}{{200}}x + 19} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng)
Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x - 12\;000 + 3x = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 22x - 12\;000\) (triệu đồng).
Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.
Ta có: \(P'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{100}} + 22,P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\;200\)
Bảng biến thiên:
Vậy có 2200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất. Số ti vi mua tăng lên là: \(2200 - 1000 = 1\;200\) (chiếc)
Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: \(14 - 0,5.\frac{{1\;200}}{{100}} = 8\) (triệu đồng)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyển thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài đoạn CD là x (km \(0 < x < 8\))
Quãng đường AD dài: \(\sqrt {A{C^2} + D{C^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} \left( {km} \right)\)
Quãng đường BD dài \(8 - x\left( {km} \right)\)
Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là: \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ)
Xét hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) với \(0 < x < 8\)
Ta có: \(y' = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right)\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{81}}{7}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)
Bảng biến thiên:
Vậy anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm D cách C một khoảng bằng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}km\) thì đến B sớm nhất.
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 40 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Tìm hàm cầu.
b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?
c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là \(C\left( x \right) = 12\;000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hàm cầu để tìm hàm cầu: Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá).
b) Sử dụng kiến thức về hàm doanh thu để tính: Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là: R(x)=x.p(x), khi đó R(x) được gọi là hàm doanh thu.
c) Nếu x đơn vị được bán thì tổng lợi nhuận là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\) thì P(x) là hàm lợi nhuận và C(x) là hàm chi phí.
Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là \(p = p\left( x \right)\).
Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số \(p = p\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, \(p\left( x \right) = ax + b\) (a khác 0).
Giá tiền \({p _1} = 14\) ứng với \({x_1} = 1\;000\), giá tiền \({p_2} = 13,5\) ứng với \({x_2} = 1\;000 + 100 = 1\;100\)
Do đó, phương trình đường thẳng \(p\left( x \right) = ax + b\) đi qua hai điểm (1000; 14) và (1 100; 13,5). Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}14 = 1\;000a + b\\13,5 = 1\;100a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{200}}\\b = 19\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy hàm cầu là: \(p\left( x \right) = - \frac{1}{{200}}x + 19\)
b) Vì \(p = \frac{{ - 1}}{{200}}x + 19 \Rightarrow x = - 200p + 3\;800\)
Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là: \(R\left( p \right) = px = p\left( { - 200p + 3\;800} \right) = - 200{p^2} + 3\;800p\)
Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: \(R'\left( p \right) = - 400p + 3\;800,R'\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow p = \frac{{19}}{2}\)
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: \(14 - \frac{{19}}{2} = 4,5\) (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.
c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là: \(R\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x.\left( {\frac{{ - 1}}{{200}}x + 19} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng)
Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x - 12\;000 + 3x = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 22x - 12\;000\) (triệu đồng).
Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.
Ta có: \(P'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{100}} + 22,P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\;200\)
Bảng biến thiên:
Vậy có 2200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất. Số ti vi mua tăng lên là: \(2200 - 1000 = 1\;200\) (chiếc)
Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: \(14 - 0,5.\frac{{1\;200}}{{100}} = 8\) (triệu đồng)
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
Ví dụ: Tính \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4
Ví dụ: Tính \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3}
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x:
\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } x \le 1 \ 2x - 1 & \text{nếu } x > 1 \end{cases} tại điểm x = 1.
Lời giải: Để hàm số liên tục tại x = 1, ta cần có:
Ta có:
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1
f(1) = 1^2 = 1
Vì \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1), nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Hy vọng rằng bài giải chi tiết mục 2 trang 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và các ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
