Bài 6. Tích vô hướng của hai vecto

Bài 6. Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 - Cánh diều

1. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b (0 ≤ θ ≤ 180°).

2. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
• (ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• a.a = |a|²

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Khi đó:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

4. Ứng dụng của tích vô hướng

a. Tính góc giữa hai vectơ

Sử dụng công thức cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)

b. Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ

Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a.b = 0

c. Tính độ dài của vectơ chiếu của a lên b

Độ dài của vectơ chiếu của a lên b là |a|cos(θ) = (a.b) / |b|

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a.b và góc giữa hai vectơ.

Giải:

a.b = 2*1 + (-1)*3 = -1

|a| = √(2² + (-1)²) = √5

|b| = √(1² + 3²) = √10

cos(θ) = -1 / (√5 * √10) = -1 / √50 = -1 / (5√2)

θ ≈ 109.47°

Ví dụ 2: Cho a = (x; 2) và b = (3; -x). Tìm x để a ⊥ b.

Giải:

a.b = 3x - 2x = x

Để a ⊥ b thì a.b = 0, suy ra x = 0

6. Kết luận

Bài học về tích vô hướng của hai vectơ là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học và vectơ một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và kỹ năng của mình.