Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 3 - Kết nối tri thức

Phân thức đối của phân thức \(\frac{A}{B}\) là \( - \frac{A}{B}\).

Phân thức đối của phân thức \(\frac{3}{{x + 1}}\) là \( - \frac{3}{{x + 1}}\).

Để phân thức xác định thì mẫu thức khác 0.

Phân thức \(\frac{2}{{x + 3}}\) xác định khi \(x + 3 \ne 0\) hay \(x \ne - 3\).

Phân thức \(\frac{3}{{x + 1}}\) xác định khi \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\).

\( \Rightarrow \) Biểu thức A xác định khi \(x \ne - 3,x \ne - 1\).

Thực hiện rút gọn phân thức theo 2 bước:

+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).

+ Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ta có: \(\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \frac{{3\left( {xy + 1} \right)}}{{3\left( {3y + 1} \right)}} = \frac{{xy + 1}}{{3y + 1}}\).

Biến đổi phân thức để tìm x.

Để phân thức \(\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) xác định thì \({x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\\5x - 2 = 0\\x = \frac{2}{5}\left( {TM} \right)\end{array}\)

Sử dụng quy tắc chia hai phân thức.

Ta có: \(\left( {\frac{{ - 20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right) = \frac{{ - 4.5x}}{{3{y^2}}}.\frac{{ - 5y}}{{4{x^3}}} = \frac{{25}}{{3{x^2}y}}\).

Dựa vào định lí hai tam giác đồng dạng.

Ta có: MN // PQ nên $\Delta OMN\backsim \Delta OQP$ (định lí hai tam giác đồng dạng) nên:

\(\frac{{ON}}{{OP}} = \frac{{MN}}{{PQ}}\\\frac{2}{x} = \frac{3}{{5,1}} \\ x = 2:\frac{3}{{5,1}} = 3,4\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính AB, AC.

Áp dụng định lí Pythagore để tính BC.

Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2\)

\( \Rightarrow AB = 2.3 = 6\left( {cm} \right);AC = 2.4 = 8\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\)

\( \Rightarrow BC = 10cm\).

Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.

Vì cột đèn giao thông và cột điện vuông góc với mặt đất nên \(\widehat E = \widehat C = {90^0}\).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat E = \widehat C\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat A\) chung

$\Rightarrow \Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)

\(\frac{3}{2} = \frac{{BC}}{6} \Rightarrow BC = 6.\frac{3}{2} = 9\left( m \right)\).

a) Tìm điều kiện cho từng phân thức trong M.

b) Sử dụng các phép tính để rút gọn M

c) Thay M = 1 để tìm x.

a) Để M xác định thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right.\) hay \(x \ne \pm 2\)Vậy điều kiện xác định của M là \(x \ne \pm 2\).

b) Ta có: \(M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{2}{{x + 2}}\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right).\frac{{x + 2}}{2}\\M = \frac{1}{{x - 2}}.\frac{{x + 2}}{2} - \frac{1}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{2}\\M = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{2}\\M = \frac{{x + 2 - \left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{{x + 2 - x + 2}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{4}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{2}{{x - 2}}\end{array}\)

Vậy \(M = \frac{2}{{x - 2}}\).

c) Thay M = 1, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} = 1\\x - 2 = 2\\x = 4\end{array}\)

Vậy x = 4 thì M = 1.

Viết phân thức biểu thị thời gian của lượt đi, biểu thức biểu thị thời gian lượt về theo công thức: \(t = \frac{S}{v}\).

a,b) Từ hai phân thức trên biết biểu thức biểu thị tổng và hiệu.

c) Thay x = 12 vào T và t để tính.

Phân thức biểu thị thời gian của lượt đi là: \(\frac{5}{x}\) (giờ)

Phân thức biểu thị thời gian của lượt về là: \(\frac{5}{{x + 3}}\) (giờ)

a) Biểu thức biểu thị tổng thời gian cả hai lượt đi và về là: \(T = \frac{5}{x} + \frac{5}{{x + 3}}\) (giờ)

b) Biểu thức biểu thị hiệu thời gian lượt đi đối với lượt về là: \(t = \frac{5}{x} - \frac{5}{{x + 3}}\) (giờ)

c) Thay x = 12 vào biểu thức T và t, ta được:

\(T = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{{12 + 3}} = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{{15}} = \frac{3}{4}\) (giờ)

\(t = \frac{5}{{12}} - \frac{5}{{12 + 3}} = \frac{5}{{12}} - \frac{5}{{15}} = \frac{1}{{12}}\) (giờ)

Áp dụng Định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh $\Delta ABM\backsim \Delta CDM$.

Từ đó suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng để tính chiều cao của cây xanh.

Vì cột đèn và cây xanh đều vuông góc với mặt đất nên ta có \(\widehat A = \widehat C = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) AB // CD

$\Rightarrow \Delta ABM\backsim \Delta CDM$ (Định lí hai tam giác đồng dạng)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{CD}}{{CM}}\\\frac{{AB}}{{4,8}} = \frac{{10}}{{2 + 4,8}} = \frac{{10}}{{6,8}}\\ \Rightarrow AB = 4,8.\frac{{10}}{{6,8}} \approx 7\left( m \right)\end{array}\)

Vậy chiều cao của cây xanh đó là khoảng 7m.

a) Chứng minh $\Delta ACB\backsim \Delta NIB$ (g.g) suy ra tỉ số bằng nhau của các cặp cạnh tương ứng.

b) Dựa vào định lí Pythagore để tính AB. Sử dụng tỉ số bằng nhau của phần a để tính BN.

c) Chứng minh $\Delta ABN\backsim \Delta CBI$ (c.g.c) để chứng minh \(\widehat {IAN} = \widehat {ICN}\).

d) Kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh \(A{C^2} = CH.CB\).

Chứng minh BN = NH.

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để chứng minh \(A{C^2} = CH.CB = N{C^2} - N{B^2}\).

Chú ý: Độ dài các cạnh chỉ sử dụng cho ý b nên không được tính độ dài cạnh để chứng minh.

a) Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta NIB\) có:

\(\widehat B\) chung

\(\widehat A = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)\)

nên $\Delta ACB\backsim \Delta NIB\left( g.g \right)$ (đpcm)

suy ra \(\frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}\)

do đó \(BA.BI = BC.BN\) (đpcm)

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\ \text{suy ra }AB = 8\left( {cm} \right)\end{array}\)

I là trung điểm của AB nên AI = IB = \(\frac{1}{2}\)AB = 4cm

Ta có: \(BA.BI = BC.BN\)

\(\begin{array}{l}8.4 = 10.BN\\ \text{suy ra } BN = \frac{{8.4}}{{10}} = 3,2\left( {cm} \right)\end{array}\)

c) Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta CBI\) có:

\(\frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat B\) chung

nên $\Delta ABN\backsim \Delta CBI\left( c.g.c \right)$

suy ra \( \widehat {IAN} = \widehat {ICN}\) (đpcm)

d) Kẻ \(AH \bot BC\) tại H.

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\widehat A = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat C\) chung

nên $\Delta AHC\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$

suy ra \(\frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)

do đó \(A{C^2} = CH.BC\).

Vì \(IN \bot BC;AH \bot BC \Rightarrow IN//AH\)

Xét tam giác ABH có IN // AH, I là trung điểm của AB nên IN là đường trung bình của tam giác ABH.

nên N là trung điểm của BH suy ra \(BN = NH\).

Ta có: \(CH.CB\)\( = \left( {CN - NH} \right)\left( {CN + BN} \right)\)\( = \left( {CN - BN} \right)\left( {CN + BN} \right)\)\( = C{N^2} - B{N^2}\)

Do đó \(A{C^2} = C{N^2} - B{N^2}\) (đpcm)

Áp dụng đẳng thức \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{{b - a}}{{ab}}\)

Xét phân thức \(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{{a - c - a + b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{{a - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{a - b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}}\).

Tương tự ta có: \(\frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}}\)

\(\frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}\)

\( \Rightarrow \frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}} + \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}} + \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}\)

\( = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}}\)

\( = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\) (đpcm).