Chào mừng các em học sinh đến với bài trắc nghiệm Toán 7 Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác, thuộc chương trình Chân trời sáng tạo. Bài trắc nghiệm này được thiết kế để giúp các em củng cố kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
toan11.edu.vn cung cấp bộ câu hỏi trắc nghiệm đa dạng, bao gồm nhiều mức độ khó khác nhau, kèm theo đáp án chi tiết để các em tự đánh giá kết quả học tập.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có trực tâm \(H.\) Chọn câu đúng.
\(AB + AC > HA + HB + HC\)
\(AB + AC < HA + HB + HC\)
\(AB + AC = HA + HB + HC\)
\(AB + AC \le HA + HB + HC\)
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Lời giải và đáp án
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có trực tâm \(H.\) Chọn câu đúng.
\(AB + AC > HA + HB + HC\)
\(AB + AC < HA + HB + HC\)
\(AB + AC = HA + HB + HC\)
\(AB + AC \le HA + HB + HC\)
Đáp án : A
- Qua \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(F\), kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(E\).
- Chứng minh \(\Delta AEH = \Delta HFA\,\)\( \Rightarrow EH = AF;\,AE = HF\) (hai cạnh tương ứng).
- Sử dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc để chứng minh \(BF > BH\),\(CE > CH\).
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \(\Delta AEH\) ta có: \(AE + EH > HA\).
Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.
Qua \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(F\), kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(E\).
Vì \(AE//HF\) (cách vẽ) nên \(\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\) (hai góc so le trong bằng nhau)
Vì \(AF//HE\) (cách vẽ) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\) (hai góc so le trong bằng nhau)
Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta HFA\) có:
\(AH\) cạnh chung
\(\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\,\,(cmt)\)
\(\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\,\,(cmt)\)
\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta HFA\,(g.c.g)\)
\( \Rightarrow EH = AF;\,AE = HF\) (hai cạnh tương ứng).
Vì \(BH \bot AC\) và \(FH//AC\) nên \(BH \bot FH\).
Ta có: \(BF;\,BH\) lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ \(B\) đến \(FH\) nên \(BF > BH\) (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).
Vì \(CH \bot AB\) và \(EH//AB\) nên \(CH \bot EH\).
Ta có: \(CE;\,CH\) lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(EH\) nên \(CE > CH\) (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).
Xét \(\Delta AEH\) có: \(AE + EH > HA\) (bất đẳng thức tam giác)
Ta có: \(AB + AC = AF + FB + AE + EC\)
\( \Rightarrow AB + AC = EH + FB + AE + EC\) (vì \(AF = EH\,(cmt)\))
\( \Rightarrow AB + AC = \left( {AE + EH} \right) + FB + EC > HA + HB + HC\).
Vậy \(AB + AC > HA + HB + HC\).
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(A\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(I\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Đáp án: B
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
- Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.
\(H\) là giao của hai đường cao \(BE;\,CF\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\)
Gọi \(D\) là giao của \(AH\) và \(BC\) nên \(AD\, \bot BC.\)
Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FI\) nên \(FI = IA = \dfrac{1}{2}AH\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FAI\) cân tại \(I\) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF}\) (1)
Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FK\) nên \(FK = BK = \dfrac{1}{2}BC\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FBK\) cân tại \(K\) suy ra \(\widehat {KFB} = \widehat {KBF}\) (2)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IFA} + \widehat {KFB} = \widehat {IAF} + \widehat {KBF} = \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Ta có: \(\widehat {IFA} + \widehat {IFK} + \widehat {KFB} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {IFK} = {180^o} - \left( {\widehat {IFA} + \widehat {KFB}} \right) = {180^o} - {90^o} = {90^o}\).
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\) Từ đó áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta IFK\) ta tính được \(IK.\)
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\)
Ta có: \(FI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm);\,FK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,(cm).\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(IFK\) ta có:
\(\begin{array}{l}I{K^2} = F{I^2} + F{K^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow IK = \sqrt {25} = 5\,\left( {cm} \right).\end{array}\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tia phân giác, tính chất đường cao của tam giác, tính chất hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông.
+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {HBA} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\left( 1 \right)\)
Mặt khác, $BI$ là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right)\) và $E$ thuộc $BI$ nên suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\)(tính chất tia phân giác)
+) $AJ$ là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {JAC} = \dfrac{{\widehat {HAC}}}{2}\left( 3 \right)\)(tính chất tia phân giác)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {JAC}\).
Xét \(\Delta ABE\)có: \(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} = \widehat {JAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AEB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AEB\) vuông tại $E.$
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án: A
Sử dụng tính chất đường cao, định lý tổng ba góc trong tam giác và tính chất hai góc kề bù.
Xét tam giác \(CHK\) có \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} = 180^\circ \,\left( 1 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác \(DHK\) có \(\widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \,\left( 2 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} + \widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \, + 180^\circ \, = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {DHK} + \widehat {HDK} + \widehat {CKH} + \widehat {DKH} = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {DHC} + \widehat {HDK} + \widehat {DKC} = 360^\circ \) mà \(\widehat {CHD} = 90^\circ ;\,\widehat {DKC} = 90^\circ ;\,\widehat {HCK} = 50^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HDK} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Đáp án: C
Sử dụng tính chất và định nghĩa tam giác cân
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(DAB\) cân tại \(D\) suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {DAB}\,\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(\widehat {ABH} = 90^\circ - \widehat {BAH}\,\left( 2 \right)\)
Xét tam giác vuông \(ABK\) có \(\widehat {BAK} = 90^\circ - \widehat {ABK}\,\left( 3 \right)\)
Từ (1); (2); (3) ta suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {BAK}\) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC}\) suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(C.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Đáp án : A
+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.
+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.
+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Xét \(\Delta ABC\) có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$ là đường cao của tam giác đó.
Mà $AI$ cắt $BC$ tại $M$ nên \(AM \bot BC\).
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) nên $AM$ là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).
\( \Rightarrow BM = MC\) (tính chất đường trung tuyến)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\).
Xét \({\Delta _v}BEC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BEC\)
\( \Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Xét \({\Delta _v}BDC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $DM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BDC\)
\( \Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD\) cân tại $M$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án : D
Áp dụng tính chất tam giác vuông cân, tính chất đường cao của tam giác.
Vì $Mx \bot AB \Rightarrow \widehat {AMx} = {90^0}$
Xét $\Delta AMC$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMC} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MA = MC\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (tính chất tam giác vuông cân)
Do đó \(\widehat {DCE} = \widehat {MCA} = {45^0}\) (đối đỉnh)
Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BMD} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MB = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {MDB} = {45^0}$(tính chất tam giác vuông cân)
Xét $\Delta CDE$ có: \(\widehat {CDE} = \widehat {DCE} = {45^0} \) \(\Rightarrow \widehat {CDE} + \widehat {DCE} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DEC} = {90^0}.\)
Lại có: \(\widehat {DEC} + \widehat {AEB} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\) .
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
Đáp án: D
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Xét \({\Delta _v}ABD\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Xét \({\Delta _v}AEC\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\left( 1 \right)\).
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^0}\\\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\end{array} \right.\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)
Từ \(\left( 1 \right);\;\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) .
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KCA\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AB = CK\left( {gt} \right)\\\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\left( {cmt} \right)\\BI = AC\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABI = \Delta KCA\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow AI = AK\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đáp án: B
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Ta có \(AI = AK\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AIK\) cân tại A (*).
\(\Delta ABI = \Delta KCA\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {CAK}\left( 3 \right)\)(2 góc tương ứng)
Xét \({\Delta _v}AID\) có: \(\widehat {AID} + \widehat {IAD} = {90^0}\left( 4 \right)\)(trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Từ \(\left( 3 \right)\left( 4 \right) \Rightarrow \widehat {IAD} + \widehat {CAK} = {90^0} \Rightarrow \Delta AIK\)vuông tại A (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow \Delta AIK\)vuông cân tại $A.$
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác đều, định lý py-ta-go.
Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(AB = BC = AC = a\) có \(AM\) là đường trung tuyến suy ra \(AM\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\) hay \(AM \bot BC\) tại \(M\).
Ta có \(MB = MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Xét tam giác $AMC$ vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có
\(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}\)\( = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác cân, định lý py-ta-go.
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) mà $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao của tam giác đó.
Vì $AM$ là trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên $M$ là trung điểm của $BC$
\( \Rightarrow BM = \dfrac{{BC}}{2} = 24:2 = 12cm.\)
Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\) có: \(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}\) (định lý py-ta-go)
\( \Rightarrow A{B^2} = {12^2} + {5^2} = 169 \Rightarrow AB = \sqrt {169} = 13cm.\)
Vậy $AB = AC = 13cm.$
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
Sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AM\) cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác \(ABC.\)
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Đáp án : C
Vì hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H$ nên $CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\) và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên A, B, D sai, C đúng.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có trực tâm \(H.\) Chọn câu đúng.
\(AB + AC > HA + HB + HC\)
\(AB + AC < HA + HB + HC\)
\(AB + AC = HA + HB + HC\)
\(AB + AC \le HA + HB + HC\)
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có trực tâm \(H.\) Chọn câu đúng.
\(AB + AC > HA + HB + HC\)
\(AB + AC < HA + HB + HC\)
\(AB + AC = HA + HB + HC\)
\(AB + AC \le HA + HB + HC\)
Đáp án : A
- Qua \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(F\), kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(E\).
- Chứng minh \(\Delta AEH = \Delta HFA\,\)\( \Rightarrow EH = AF;\,AE = HF\) (hai cạnh tương ứng).
- Sử dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc để chứng minh \(BF > BH\),\(CE > CH\).
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \(\Delta AEH\) ta có: \(AE + EH > HA\).
Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.
Qua \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(F\), kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(E\).
Vì \(AE//HF\) (cách vẽ) nên \(\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\) (hai góc so le trong bằng nhau)
Vì \(AF//HE\) (cách vẽ) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\) (hai góc so le trong bằng nhau)
Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta HFA\) có:
\(AH\) cạnh chung
\(\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\,\,(cmt)\)
\(\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\,\,(cmt)\)
\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta HFA\,(g.c.g)\)
\( \Rightarrow EH = AF;\,AE = HF\) (hai cạnh tương ứng).
Vì \(BH \bot AC\) và \(FH//AC\) nên \(BH \bot FH\).
Ta có: \(BF;\,BH\) lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ \(B\) đến \(FH\) nên \(BF > BH\) (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).
Vì \(CH \bot AB\) và \(EH//AB\) nên \(CH \bot EH\).
Ta có: \(CE;\,CH\) lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(EH\) nên \(CE > CH\) (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).
Xét \(\Delta AEH\) có: \(AE + EH > HA\) (bất đẳng thức tam giác)
Ta có: \(AB + AC = AF + FB + AE + EC\)
\( \Rightarrow AB + AC = EH + FB + AE + EC\) (vì \(AF = EH\,(cmt)\))
\( \Rightarrow AB + AC = \left( {AE + EH} \right) + FB + EC > HA + HB + HC\).
Vậy \(AB + AC > HA + HB + HC\).
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(A\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(I\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Đáp án: B
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
- Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.
\(H\) là giao của hai đường cao \(BE;\,CF\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\)
Gọi \(D\) là giao của \(AH\) và \(BC\) nên \(AD\, \bot BC.\)
Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FI\) nên \(FI = IA = \dfrac{1}{2}AH\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FAI\) cân tại \(I\) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF}\) (1)
Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FK\) nên \(FK = BK = \dfrac{1}{2}BC\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FBK\) cân tại \(K\) suy ra \(\widehat {KFB} = \widehat {KBF}\) (2)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IFA} + \widehat {KFB} = \widehat {IAF} + \widehat {KBF} = \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Ta có: \(\widehat {IFA} + \widehat {IFK} + \widehat {KFB} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {IFK} = {180^o} - \left( {\widehat {IFA} + \widehat {KFB}} \right) = {180^o} - {90^o} = {90^o}\).
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\) Từ đó áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta IFK\) ta tính được \(IK.\)
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\)
Ta có: \(FI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm);\,FK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,(cm).\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(IFK\) ta có:
\(\begin{array}{l}I{K^2} = F{I^2} + F{K^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow IK = \sqrt {25} = 5\,\left( {cm} \right).\end{array}\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tia phân giác, tính chất đường cao của tam giác, tính chất hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông.
+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {HBA} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\left( 1 \right)\)
Mặt khác, $BI$ là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right)\) và $E$ thuộc $BI$ nên suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\)(tính chất tia phân giác)
+) $AJ$ là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {JAC} = \dfrac{{\widehat {HAC}}}{2}\left( 3 \right)\)(tính chất tia phân giác)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {JAC}\).
Xét \(\Delta ABE\)có: \(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} = \widehat {JAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AEB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AEB\) vuông tại $E.$
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án: A
Sử dụng tính chất đường cao, định lý tổng ba góc trong tam giác và tính chất hai góc kề bù.
Xét tam giác \(CHK\) có \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} = 180^\circ \,\left( 1 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác \(DHK\) có \(\widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \,\left( 2 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} + \widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \, + 180^\circ \, = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {DHK} + \widehat {HDK} + \widehat {CKH} + \widehat {DKH} = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {DHC} + \widehat {HDK} + \widehat {DKC} = 360^\circ \) mà \(\widehat {CHD} = 90^\circ ;\,\widehat {DKC} = 90^\circ ;\,\widehat {HCK} = 50^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HDK} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Đáp án: C
Sử dụng tính chất và định nghĩa tam giác cân
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(DAB\) cân tại \(D\) suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {DAB}\,\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(\widehat {ABH} = 90^\circ - \widehat {BAH}\,\left( 2 \right)\)
Xét tam giác vuông \(ABK\) có \(\widehat {BAK} = 90^\circ - \widehat {ABK}\,\left( 3 \right)\)
Từ (1); (2); (3) ta suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {BAK}\) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC}\) suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(C.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Đáp án : A
+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.
+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.
+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Xét \(\Delta ABC\) có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$ là đường cao của tam giác đó.
Mà $AI$ cắt $BC$ tại $M$ nên \(AM \bot BC\).
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) nên $AM$ là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).
\( \Rightarrow BM = MC\) (tính chất đường trung tuyến)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\).
Xét \({\Delta _v}BEC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BEC\)
\( \Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Xét \({\Delta _v}BDC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $DM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BDC\)
\( \Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD\) cân tại $M$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án : D
Áp dụng tính chất tam giác vuông cân, tính chất đường cao của tam giác.
Vì $Mx \bot AB \Rightarrow \widehat {AMx} = {90^0}$
Xét $\Delta AMC$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMC} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MA = MC\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (tính chất tam giác vuông cân)
Do đó \(\widehat {DCE} = \widehat {MCA} = {45^0}\) (đối đỉnh)
Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BMD} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MB = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {MDB} = {45^0}$(tính chất tam giác vuông cân)
Xét $\Delta CDE$ có: \(\widehat {CDE} = \widehat {DCE} = {45^0} \) \(\Rightarrow \widehat {CDE} + \widehat {DCE} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DEC} = {90^0}.\)
Lại có: \(\widehat {DEC} + \widehat {AEB} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\) .
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
Đáp án: D
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Xét \({\Delta _v}ABD\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Xét \({\Delta _v}AEC\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\left( 1 \right)\).
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^0}\\\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\end{array} \right.\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)
Từ \(\left( 1 \right);\;\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) .
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KCA\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AB = CK\left( {gt} \right)\\\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\left( {cmt} \right)\\BI = AC\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABI = \Delta KCA\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow AI = AK\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đáp án: B
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Ta có \(AI = AK\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AIK\) cân tại A (*).
\(\Delta ABI = \Delta KCA\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {CAK}\left( 3 \right)\)(2 góc tương ứng)
Xét \({\Delta _v}AID\) có: \(\widehat {AID} + \widehat {IAD} = {90^0}\left( 4 \right)\)(trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Từ \(\left( 3 \right)\left( 4 \right) \Rightarrow \widehat {IAD} + \widehat {CAK} = {90^0} \Rightarrow \Delta AIK\)vuông tại A (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow \Delta AIK\)vuông cân tại $A.$
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác đều, định lý py-ta-go.
Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(AB = BC = AC = a\) có \(AM\) là đường trung tuyến suy ra \(AM\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\) hay \(AM \bot BC\) tại \(M\).
Ta có \(MB = MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Xét tam giác $AMC$ vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có
\(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}\)\( = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác cân, định lý py-ta-go.
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) mà $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao của tam giác đó.
Vì $AM$ là trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên $M$ là trung điểm của $BC$
\( \Rightarrow BM = \dfrac{{BC}}{2} = 24:2 = 12cm.\)
Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\) có: \(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}\) (định lý py-ta-go)
\( \Rightarrow A{B^2} = {12^2} + {5^2} = 169 \Rightarrow AB = \sqrt {169} = 13cm.\)
Vậy $AB = AC = 13cm.$
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
Sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AM\) cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác \(ABC.\)
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Đáp án : C
Vì hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H$ nên $CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\) và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên A, B, D sai, C đúng.
Bài 8 trong chương trình Toán 7 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc khám phá và hiểu rõ tính chất đặc biệt của ba đường cao trong một tam giác. Ba đường cao của một tam giác là các đoạn thẳng vuông góc kẻ từ mỗi đỉnh xuống cạnh đối diện (hoặc đường kéo dài của cạnh đối diện). Chúng đồng quy tại một điểm đặc biệt gọi là trực tâm của tam giác.
Để giải các bài tập trắc nghiệm về tính chất ba đường cao của tam giác, các em cần:
Câu hỏi: Trong tam giác ABC, đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn BH và CH. Biết BH = 4cm, CH = 5cm. Tính độ dài cạnh BC.
Giải: Độ dài cạnh BC bằng tổng độ dài của hai đoạn BH và CH. Vậy BC = BH + CH = 4cm + 5cm = 9cm.
Để nâng cao khả năng giải bài tập, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập sau:
Việc nắm vững kiến thức về tính chất ba đường cao của tam giác là rất quan trọng trong chương trình Toán 7. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết và luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất. toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức!
| Đường cao | Trực tâm | Tính chất |
|---|---|---|
| Đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh xuống cạnh đối diện | Giao điểm của ba đường cao | Cách đều ba đỉnh (trong tam giác cân) |
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
