Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1 trong chương 1 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 giới thiệu những kiến thức cơ bản về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về đặc điểm và tính chất của hàm số, từ đó có thể ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên.

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:

• Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
• Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một lân cận nào đó. Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một lân cận nào đó.

Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng.
3. Xét dấu của f'(x) trong các khoảng xác định bởi các điểm dừng.
4. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực đại.
5. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực tiểu.

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Giải:

• Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
• Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• Xét dấu của f'(x):
• Khi x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0)
• Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2)
• Khi x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞)
• Kết luận: Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm và phương pháp giải bài tập, từ đó có thể áp dụng vào các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

toan11.edu.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!