Lý Thuyết Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Hàm Số Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chuyên đề Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến chủ đề này là điều kiện cần thiết để học tốt môn Toán và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.

Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài giảng chi tiết, dễ hiểu, cùng với các bài tập thực hành phong phú, giúp bạn tự tin chinh phục chuyên đề này.

1. Tính đơn điệu của hàm số Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K

Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Ta có: \(y' = \frac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

3. BBT

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

4. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 3

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 4

Sẵn sàng bứt phá tại Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán với chiến lược ôn luyện tối ưu! Khám phá ngay Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức – nội dung trọng điểm trong chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán. Bộ tài liệu toán trung học phổ thông được biên soạn bài bản, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, là công cụ đắc lực giúp học sinh làm chủ mọi dạng toán trọng tâm và rèn luyện kỹ năng giải đề hiệu quả. Nhờ phương pháp học tập trực quan, logic và tính ứng dụng cao, học sinh sẽ tự tin chinh phục điểm số cao, vững vàng tiến bước vào cánh cửa đại học mơ ước. Đây chính là hành trang không thể thiếu cho bất kỳ ai muốn đạt thành tích xuất sắc trong kỳ thi quan trọng nhất cấp THPT.

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chuyên đề về tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò then chốt trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Nó không chỉ là nền tảng cho việc hiểu sâu hơn về hàm số mà còn là công cụ quan trọng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và trong các kỳ thi quan trọng.

I. Khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về tính đơn điệu và cực trị, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Hàm số đơn điệu: Một hàm số được gọi là đơn điệu trên một khoảng nếu nó luôn tăng hoặc luôn giảm trên khoảng đó.
Hàm số đồng biến: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂).
Hàm số nghịch biến: Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).
Điểm cực đại: Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b).
Điểm cực tiểu: Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b).
Cực đại cục bộ: Giá trị hàm số tại điểm cực đại.
Cực tiểu cục bộ: Giá trị hàm số tại điểm cực tiểu.

II. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm của hàm số:

Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
Nếu f'(x) = 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) không đơn điệu trên khoảng đó.

III. Điều kiện để hàm số có cực trị

Để hàm số có cực trị, cần thỏa mãn các điều kiện sau:

Hàm số phải xác định trên một khoảng mở.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số phải đổi dấu tại điểm nghi ngờ là cực trị.
Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.
Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

IV. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Phân tích sự biến thiên của hàm số.

V. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x² - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Lập bảng xét dấu f'(x):

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số có cực đại tại x = 0 với giá trị là f(0) = 2 và cực tiểu tại x = 2 với giá trị là f(2) = -2.

Ví dụ 2: (Tự giải)

VI. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như toan11.edu.vn.

Tên của trò chơi là bắt cóc: Ai là kẻ ác thực sự khi ranh giới thiện lương bị xóa nhòa? | toan11.edu.vn

Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!

03/10/2025

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Bài viết liên quan

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

I. Khái niệm cơ bản

II. Điều kiện để hàm số đơn điệu

III. Điều kiện để hàm số có cực trị

IV. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

V. Bài tập ví dụ

VI. Luyện tập thêm

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 12

Blog Học Toán