Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 15 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Để xác định một đường thẳng trong không gian, ta cần một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương là vectơ song song với đường thẳng đó. Nếu đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) thì mọi điểm M(x, y, z) thuộc đường thẳng d đều thỏa mãn:

\vec{MM_0} = k\vec{a}, với k là một số thực.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Dựa trên khái niệm vectơ chỉ phương, ta có thể viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) như sau:

• x = x₀ + a₁t
• y = y₀ + a₂t
• z = z₀ + a₃t

Trong đó, t là tham số thực.

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Từ phương trình tham số, ta có thể suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng d:

\frac{x - x_0}{a_1} = \frac{y - y_0}{a_2} = \frac{z - z_0}{a_3}

Lưu ý rằng phương trình chính tắc chỉ xác định khi a_1, a_2, a_3 khác 0.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (2, -1, 1).

Giải:

Phương trình tham số:

• x = 1 + 2t
• y = 2 - t
• z = 3 + t

Phương trình chính tắc:

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}

5. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm B(0, 1, -2) và C(2, 3, 0).

Bài tập 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm D(-1, 0, 4) và song song với đường thẳng có phương trình chính tắc \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{-1}.

6. Mở rộng và liên hệ thực tế

Phương trình đường thẳng trong không gian có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật, đồ họa máy tính và vật lý. Việc hiểu rõ các khái niệm và công thức liên quan đến phương trình đường thẳng sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về phương trình đường thẳng trong không gian. Chúc các em học tập tốt!