Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 46, 47, 48 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này được thiết kế để giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải các bài tập trong SGK.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải đầy đủ, chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự học hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{3 - 1}}{1} \ne \frac{{0 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{1}{3}\) nên điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);
d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;4} \right)\).
a) Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{1 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1}\) nên điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{A_1}O} \left( { - 1;2; - 3} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_1}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = - 1.0 + 2.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 11 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và Ox chéo nhau.
c) Đường thẳng \({\Delta _3}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_3}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{0 + 4}}{4}\) nên điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) thuộc đường thẳng \({\Delta _3}\).
Do đó, đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}\).
d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow {{A_2}O} \left( {1;1;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_2}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\) và có phương trình tham số: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.\) \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}s\\y = {y_2} + {b_2}s\\z = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\). Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {a_1}t = {x_2} + {a_2}s\\{y_1} + {b_1}t = {y_2} + {b_2}s\\{z_1} + {c_1}t = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\left( * \right)\)
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) Hệ (*) có vô số nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \) Hệ (*) có nghiệm duy nhất
Lời giải chi tiết:
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;3} \right)\)
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương. Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = s\\3 + t = 1 + 2s\\1 - t = 3s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s - 2t = 1\;\left( 1 \right)\\2s - t = 2\;\left( 2 \right)\\3s + t = 1\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta có: \(s = 1;t = 0\), thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn phương trình.
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). (H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có cắt nhau hay không?
c) Giả sử \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có chéo nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để tìm chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.
Lời giải chi tiết:
a) Để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau. Suy ra, \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) mà \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) nên \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow 0 \), suy ra \({A_1}\) trùng \({A_2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
c) Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để giải: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\) .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_1}} =\left( {2;1;3} \right)\).
Gọi d’ là đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_2}} =\left( {1;2;1} \right)\).
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) không cùng phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;0} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5} \right).2 + 1.3 + 3.0 = - 7 \ne 0\) nên d và d’ chéo nhau.
Do đó, hai vật trên không va chạm vào nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). (H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có cắt nhau hay không?
c) Giả sử \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có chéo nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để tìm chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.
Lời giải chi tiết:
a) Để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau. Suy ra, \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) mà \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) nên \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow 0 \), suy ra \({A_1}\) trùng \({A_2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
c) Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{3 - 1}}{1} \ne \frac{{0 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{1}{3}\) nên điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);
d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;4} \right)\).
a) Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{1 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1}\) nên điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{A_1}O} \left( { - 1;2; - 3} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_1}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = - 1.0 + 2.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 11 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và Ox chéo nhau.
c) Đường thẳng \({\Delta _3}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_3}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{0 + 4}}{4}\) nên điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) thuộc đường thẳng \({\Delta _3}\).
Do đó, đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}\).
d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow {{A_2}O} \left( {1;1;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_2}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\) và có phương trình tham số: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.\) \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}s\\y = {y_2} + {b_2}s\\z = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\). Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {a_1}t = {x_2} + {a_2}s\\{y_1} + {b_1}t = {y_2} + {b_2}s\\{z_1} + {c_1}t = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\left( * \right)\)
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) Hệ (*) có vô số nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \) Hệ (*) có nghiệm duy nhất
Lời giải chi tiết:
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;3} \right)\)
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương. Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = s\\3 + t = 1 + 2s\\1 - t = 3s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s - 2t = 1\;\left( 1 \right)\\2s - t = 2\;\left( 2 \right)\\3s + t = 1\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta có: \(s = 1;t = 0\), thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn phương trình.
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để giải: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\) .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_1}} =\left( {2;1;3} \right)\).
Gọi d’ là đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_2}} =\left( {1;2;1} \right)\).
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) không cùng phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;0} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5} \right).2 + 1.3 + 3.0 = - 7 \ne 0\) nên d và d’ chéo nhau.
Do đó, hai vật trên không va chạm vào nhau.
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và áp dụng linh hoạt các công thức, định lý đã học. Việc giải các bài tập trong mục này không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, một kỹ năng quan trọng trong học tập và cuộc sống.
Để hiểu rõ hơn về Mục 3, chúng ta cần xem xét các nội dung chính sau:
Bài 1: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng). Ví dụ: Bài 1 yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^2 + 2x - 1. Giải: f'(x) = 2x + 2. Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lũy thừa.
Bài 2: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Bài 3: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Bài 4: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Bài 5: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Bài 6: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Bài 7: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Bài 8: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Bài 9: (Nêu đề bài tập và giải chi tiết từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng).
Để giải các bài tập trong Mục 3 một cách hiệu quả, các em có thể tham khảo một số mẹo sau:
Kiến thức trong Mục 3 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 3 trang 46,47,48 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức này sẽ giúp các em học tập tốt hơn. Chúc các em thành công!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
