Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Giải chi tiết SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Đây là một chủ đề quan trọng, có tính ứng dụng cao trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Lý thuyết cơ bản

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x): Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số.
2. Tìm điểm dừng và điểm không xác định: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng. Xác định các điểm mà đạo hàm không tồn tại (điểm không xác định).
3. Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng và điểm không xác định. Từ đó, xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
4. Kết luận về GTLN, GTNN: Dựa vào bảng biến thiên, xác định GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng (a, b).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

• Bước 1: Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
• Bước 2: Tìm điểm dừng: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên:

Bước 4: Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (2; 3).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
• GTLN của hàm số trên đoạn [-1; 3] là f(3) = 8.
• GTNN của hàm số trên đoạn [-1; 3] là f(2) = -2.

III. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = -x² + 4x - 3 trên đoạn [0; 2].

Bài tập 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x⁴ - 2x² + 1 trên khoảng (-∞; +∞).

IV. Lưu ý quan trọng

Khi tìm GTLN và GTNN của hàm số, cần chú ý đến:

• Xác định đúng khoảng hoặc đoạn cần xét.
• Kiểm tra các điểm đầu mút của đoạn (nếu có).
• Phân tích kỹ bảng biến thiên để đưa ra kết luận chính xác.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!