Bài 2. Phép đồng dạng

Bài 2. Phép đồng dạng - Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến sự tương đồng giữa các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng trong chương trình Toán 11, sách Cánh diều, Chuyên đề I. Phép biến hình phẳng.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép đồng dạng là một phép biến hình bảo toàn tỷ số khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu hai điểm A và B được biến thành A' và B' qua phép đồng dạng, thì tỷ lệ giữa khoảng cách AB và A'B' là một hằng số dương, gọi là tỷ số của phép đồng dạng.

Công thức tổng quát của phép đồng dạng:

F(x; y) = (ax + by + c; a'x + b'y + c')

Trong đó: a, b, a', b', c, c' là các hằng số, và aa' - bb' ≠ 0.

2. Tính chất của phép đồng dạng

• Bảo toàn tính thẳng hàng: Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A', B', C' cũng thẳng hàng.
• Bảo toàn tỷ số khoảng cách: Như đã đề cập ở trên, tỷ số khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ được bảo toàn qua phép đồng dạng.
• Bảo toàn góc: Góc giữa hai đường thẳng được bảo toàn qua phép đồng dạng.
• Biến đường tròn thành đường tròn: Phép đồng dạng biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn ban đầu nhân với tỷ số của phép đồng dạng.

3. Phân loại phép đồng dạng

Có hai loại phép đồng dạng chính:

• Phép vị tự: Là một phép đồng dạng có tâm O và tỷ số k. Phép vị tự biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM' = |k|OM và M', O, M thẳng hàng.
• Phép affine: Là một phép đồng dạng không phải là phép vị tự.

4. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong hình học, bao gồm:

• Chứng minh sự tương đồng của hai hình: Nếu hai hình có thể biến đổi lẫn nhau bằng một phép đồng dạng, thì hai hình đó được gọi là tương đồng.
• Giải quyết các bài toán hình học: Phép đồng dạng có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tỷ lệ, diện tích, và thể tích.
• Trong đồ họa máy tính: Phép đồng dạng được sử dụng để thực hiện các phép biến đổi hình ảnh, như phóng to, thu nhỏ, và xoay.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' là hai tam giác đồng dạng với tỷ số k = 2. Biết AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 9cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Bài 2: Cho điểm A(1; 2) và phép vị tự tâm O(0; 0) với tỷ số k = -3. Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép vị tự.

6. Kết luận

Bài học về phép đồng dạng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về một trong những phép biến hình quan trọng nhất trong hình học. Việc nắm vững lý thuyết và tính chất của phép đồng dạng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.