Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 1 trang 26, 27, 28, 29, 30 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều. Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Bài giải này được xây dựng dựa trên chương trình học Toán 11 Cánh Diều, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với nội dung sách giáo khoa.
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OA'} ,\,\overrightarrow {OB'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} \).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) theo vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Từ đó, tìm mối liên hệ độ dài giữa hai đoạn thẳng A'B' và AB.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right)\) nên \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OB'} = k\overrightarrow {OB} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB'} - \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OA} = k\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = k\overrightarrow {AB} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \), từ đó suy ra \(A'B' = \left| k \right|AB.\)
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {B'C'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} \).
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có ngược hướng không?
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Làm tương tự Hoạt động 2, sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\) nên \(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \).
b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng với nhau.
c) +) Với k > 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
+) Với k < 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ và ngược hướng với nhau.
Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là A’B’C’. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự chính là tam giác A’B’C’.
Lời giải chi tiết:
Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} ;\,\,\overrightarrow {OB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ;\,\,\overrightarrow {OC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \). Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 47, xác định M’ sao cho độ dài OM' = 2OM, và \(\overrightarrow {OM} ;\,\overrightarrow {OM'} \) cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Lấy điểm O và điểm M bất kì;
- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.
Khi đó ta có \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (tham khảo Hình 47).
Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm O qua phép vị tự và \(R' = \;\left| k \right|R\)
Lời giải chi tiết:
Qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\) thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O và bán kính \(R' = \;\left| { - \frac{1}{2}} \right|R = \frac{1}{2}R\).
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 47, xác định M’ sao cho độ dài OM' = 2OM, và \(\overrightarrow {OM} ;\,\overrightarrow {OM'} \) cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Lấy điểm O và điểm M bất kì;
- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.
Khi đó ta có \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (tham khảo Hình 47).
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là A’B’C’. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự chính là tam giác A’B’C’.
Lời giải chi tiết:
Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} ;\,\,\overrightarrow {OB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ;\,\,\overrightarrow {OC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \). Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OA'} ,\,\overrightarrow {OB'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} \).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) theo vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Từ đó, tìm mối liên hệ độ dài giữa hai đoạn thẳng A'B' và AB.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right)\) nên \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OB'} = k\overrightarrow {OB} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB'} - \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OA} = k\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = k\overrightarrow {AB} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \), từ đó suy ra \(A'B' = \left| k \right|AB.\)
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {B'C'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} \).
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có ngược hướng không?
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Làm tương tự Hoạt động 2, sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\) nên \(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \).
b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng với nhau.
c) +) Với k > 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
+) Với k < 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ và ngược hướng với nhau.
Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm O qua phép vị tự và \(R' = \;\left| k \right|R\)
Lời giải chi tiết:
Qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\) thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O và bán kính \(R' = \;\left| { - \frac{1}{2}} \right|R = \frac{1}{2}R\).
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về hàm số bậc hai. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, làm nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm, tính chất và phương pháp giải các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai là vô cùng cần thiết.
Trước khi đi vào giải các bài tập cụ thể, chúng ta cần ôn tập lại các kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai:
Các bài tập trong mục 1 trang 26, 27, 28, 29, 30 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều bao gồm nhiều dạng bài khác nhau, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Dưới đây là một số dạng bài thường gặp và phương pháp giải:
Đây là dạng bài cơ bản nhất, yêu cầu học sinh xác định đúng các hệ số a, b, c của hàm số bậc hai. Để làm được bài này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của hàm số bậc hai và biết cách nhận biết các hệ số.
Để tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol, học sinh cần sử dụng các công thức đã học. Lưu ý rằng, nếu a > 0 thì parabol có đỉnh là điểm thấp nhất, còn nếu a < 0 thì parabol có đỉnh là điểm cao nhất.
Để vẽ đồ thị của hàm số bậc hai, học sinh cần xác định được các yếu tố quan trọng như tọa độ đỉnh, trục đối xứng, các điểm đặc biệt (giao điểm với trục Ox, trục Oy). Sau đó, vẽ parabol đi qua các điểm này.
Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0. Để giải phương trình này, học sinh có thể sử dụng các phương pháp sau:
Để nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai, học sinh cần luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Bên cạnh các bài tập trong sách giáo khoa, học sinh có thể tìm kiếm thêm các bài tập trên internet hoặc trong các đề thi thử.
Ngoài các kiến thức cơ bản đã học, học sinh có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của hàm số bậc hai trong thực tế, chẳng hạn như trong vật lý, kỹ thuật, kinh tế. Điều này sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về tầm quan trọng của hàm số bậc hai và ứng dụng của nó trong cuộc sống.
Hy vọng rằng, với bài giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về hàm số bậc hai. Chúc các em học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
