Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

I. Giới thiệu chung

Trong không gian Oxyz, mỗi điểm được xác định duy nhất bởi một bộ ba số thực (x, y, z) gọi là tọa độ của điểm đó. Vectơ cũng có thể được biểu diễn bằng tọa độ, và các phép toán trên vectơ có thể được thực hiện bằng các phép toán trên tọa độ tương ứng. Bài học này sẽ tập trung vào việc tìm hiểu các biểu thức tọa độ của các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực và tích vô hướng của các vectơ.

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

1. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

• a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
• a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

2. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k.

ka = (kx; ky; kz)

3. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂).

a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

III. Ứng dụng

Các biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là:

• Tính độ dài của vectơ: |a| = √(x² + y² + z²)
• Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| |b|)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0

IV. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và a ⋅ b.

Giải:

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0

Ví dụ 2: Cho a = (2; -1; 1). Tìm vectơ b sao cho 2a - b = (1; 3; -1).

Giải:

b = 2a - (1; 3; -1) = (4; -2; 2) - (1; 3; -1) = (3; -5; 3)

V. Kết luận

Bài học về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các công thức và ứng dụng của chúng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và kỹ năng của mình.